【題目】)過點,離心率為,其左、右焦點分別為,,且過焦點的直線交橢圓于,.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若點的坐標為,設直線與直線的斜率分別為,試證明:.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)證明見解析

【解析】

(Ⅰ)由橢圓過點以及離心率為,結合,列方程組求解,即可得橢圓方程;

(Ⅱ)方法一:先考慮直線斜率不存在的情況,再考慮斜率存在的情況,對于斜率存在的情況,設直線,與橢圓交點,聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去并整理,利用判別式及韋達定理,從而可表示出,然后化簡求解即可;

方法二:先考慮直線斜率為0的情況,再考慮直線斜率不為0時,對于斜率不為0的情況,設直線,后續(xù)過程同方法一.

(Ⅰ)橢圓)過點

.

橢圓離心率為,

,

.

聯(lián)立①②得,解得

橢圓的方程為.

(Ⅱ)方法一:

當直線斜率不存在時,

;

當直線斜率存在時,

設直線,與橢圓交點,.

聯(lián)立,

消去并整理得.

由于,

,

,

.

綜上所述,.

方法二:

當直線斜率為0時,

,則

當直線斜率不為0時,

設直線 與橢圓交點,

聯(lián)立

消去并整理得.

由于,

,

.

,

綜上所述,.

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等級

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合格

得分

頻數(shù)

6

24

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