Question

如圖，三棱錐P-ABC的三個側面均為邊長是1的等邊三角形，M，N分別為PA，BC的中點．
（1）求MN的長；
（2）求證：PA⊥BC；
（3）求三棱錐P-ABC的表面積．

Answer 1

分析：（1）先連接MB，MC．根據三棱錐P-ABC 的三個側面均為邊長是1 的等邊三角形，得出底面△ABC 也是邊長為1 的等邊三角形．在Rt△MNB 中利用勾股定理即可求得MN的長；
（2）由M 是PA 的中點，得出 PA⊥MB，同理 PA⊥MC．根據線面垂直的判定定理得出 PA⊥平面MBC，再由線面垂直的性質定理可得 PA⊥BC；
（3）根據三棱錐P-ABC 的三個側面和底面均為邊長是1 的等邊三角形，結合面積公式得出三棱錐P-ABC 的表面積．

解答：解：（1）連接MB，MC．
因為 三棱錐P-ABC 的三個側面均為邊長是1 的等邊三角形，
所以 MB=MC=

3

2

，且底面△ABC 也是邊長為1 的等邊三角形．
因為 N 為BC 的中點，所以 MN⊥BC．在Rt△MNB 中，MN=

MB2-BN2

=

2

2

．…4分
（2）證明：因為M 是PA 的中點，所以 PA⊥MB，同理 PA⊥MC．
因為 MB∩MC=M，所以 PA⊥平面MBC，
又因為 BC?平面MBC，所以 PA⊥BC．…8分
（3）因為 側面等邊三角形APB 的面積為S=

1

2

AP•MB=

3

4

，
且三棱錐P-ABC 的三個側面和底面均為邊長是1 的等邊三角形，
所以 三棱錐P-ABC 的表面積為4S=

3

．…12分

點評：本小題主要考查空間中直線與直線之間的位置關系、棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．