(2012•湖南模擬)如圖,三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC⊥底面ABC,∠APC=90°,且AB=4,AP=PC=2,BC=2
2

(Ⅰ)求證:PA⊥平面PBC;
(Ⅱ)若E為側(cè)棱PB的中點(diǎn),求直線AE與底面ABC所成角的正弦值.
分析:(Ⅰ)先證明PA⊥PC,再證明BC⊥平面ACP,可得PA⊥BC,利用線面垂直的判定,可得PA⊥平面PBC;
(Ⅱ)取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,證明∠EAH為直線AE與底面ABC所成角,且sin∠EAH=
EH
AE
,由此可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ) 證明:由∠APC=90°知,PA⊥PC,
又AP=PC=2,所以AC=2
2
,…(2分)
又AB=4,BC=2
2
,所以AC2+BC2=AB2
所以∠ACB=90°,即BC⊥AC,…(3分)
又側(cè)面PAC⊥底面ABC,側(cè)面PAC∩底面ABC平面=AC,BC?平面ABC,
所以BC⊥平面ACP,所以PA⊥BC,…(5分)
又PC∩BC=C,所以PA⊥平面PBC…(6分)
(Ⅱ)解:如圖,取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,
因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,
∵BC⊥平面ACP,PO?平面ACP
∴BC⊥PO
∵AC∩BC=C,∴PO⊥平面ABC,
又E為側(cè)棱PB的中點(diǎn),H為OB中點(diǎn),∴EH∥PO
∴EH⊥平面ABC,…(8分)
∴∠EAH為直線AE與底面ABC所成角,且sin∠EAH=
EH
AE
…(10分)
又PO=
1
2
AC=
2
,∴EH=
1
2
PO=
2
2

∵PA⊥平面PBC,PB?平面PBC,∴AP⊥PB,∴PB=2
3
,PE=
3
,
∴AE=
7
,…(11分)
∴sin∠EAH=
EH
AE
=
2
2
7
=
14
14

所以直線AE與底面ABC所成角的正弦值為
14
14
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面垂直的判定,考查線面角,掌握線面垂直的判定,正確作出線面角是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•湖南模擬)已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+x-(x+1)ln(x+1)

(1)判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)記φ(x)=f′(x-1)-k(x-1),若函數(shù)φ(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),求證:φ′(
x1+x2
2
)>0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•湖南模擬)已知向量
m
=(2cos2x,
3
),
n
=(1,sin2x)
,函數(shù)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且f(C)=3,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•湖南模擬)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),f′(x)在區(qū)間(a,b)的導(dǎo)函數(shù)f″(x),若在區(qū)間(a,b)上的f″(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,已知f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2
,若當(dāng)實(shí)數(shù)m滿足|m|≤2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,則b-a的最大值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•湖南模擬)已知函數(shù)f(x)=
-x-1(x<-2)
x+3(-2≤x≤
1
2
)
5x+1(x>
1
2
)
(x∈R),
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)已知m∈R,命題p:關(guān)于x的不等式f(x)≥m2+2m-2對(duì)任意x∈R恒成立;命題q:函數(shù)y=(m2-1)x是增函數(shù).若“p或q”為真,“p且q”為假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•湖南模擬)設(shè)曲線y=xn+1(n∈N)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,則x1•x2•x3•…•x2012的值為
1
2013
1
2013

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