Question

設(shè)a為非負(fù)實數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)，并求出零點．（Ⅲ）當(dāng)-1≤x≤1時，|f'（x）|≤1，試求a的最大值，并求a取得最大值時f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，，
①當(dāng)x≥2時，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)x＜2時，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（-∞，1）上單調(diào)遞增；
綜上所述，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2）．
（Ⅱ）（1）當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|，函數(shù)y=f（x）的零點為x₀=0；（5分）
（2）當(dāng)a＞0時，，（6分）
故當(dāng)x≥a時，，二次函數(shù)對稱軸，
∴f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，f（a）＜0；（7分）
當(dāng)x＜a時，，二次函數(shù)對稱軸，
∴f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（8分）
∴f（x）的極大值為，1°當(dāng)，即0＜a＜4時，函數(shù)f（x）與x軸只有唯一交點，即唯一零點，
由x²-ax-a=0解之得
函數(shù)y=f（x）的零點為或（舍去）；
（10分）2°當(dāng)，即a=4時，函數(shù)f（x）與x軸有兩個交點，即兩個零點，分別為x₁=2
和；（11分）3°當(dāng)，即a＞4時，函數(shù)f（x）與x軸有三個交點，即有三個零點，
由-x²+ax-a=0解得，，
∴函數(shù)y=f（x）的零點為和．（12分）
綜上可得，當(dāng)a=0時，函數(shù)的零點為0；
當(dāng)0＜a＜4時，函數(shù)有一個零點，且零點為；
當(dāng)a=4時，有兩個零點2和；
當(dāng)a＞4時，函數(shù)有三個零點
分析：（Ⅰ）先把a=2代入，利用絕對值的意義將函數(shù)化簡為分段函數(shù)，再對每一段利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對稱軸的關(guān)系求出每一段的單調(diào)區(qū)間，最后綜合即可求出整個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論a的正負(fù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極小值與0進行比較，進行分別判定函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)．
點評：本題主要考查通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值；注意函數(shù)中若含參數(shù)一般需要討論．