Question

設(shè)a為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（I）先討論去絕對(duì)值，寫成分段函數(shù)，然后分別當(dāng)x≥2時(shí)與當(dāng)x＜2時(shí)的單調(diào)區(qū)間；
（II）討論a的正負(fù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極小值與0進(jìn)行比較，進(jìn)行分別判定函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，，①當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（-∞，1）上單調(diào)遞增；
綜上所述，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2）．
（Ⅱ）（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為x=0；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，，
故當(dāng)x≥a時(shí)，，二次函數(shù)對(duì)稱軸，
∴f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，f（a）＜0；
當(dāng)x＜a時(shí)，，二次函數(shù)對(duì)稱軸，
∴f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
∴f（x）的極大值為，
1°當(dāng)，即0＜a＜4時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸只有唯一交點(diǎn)，即唯一零點(diǎn)，
由x²-ax-a=0解之得函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為或（舍去）；
2°當(dāng)，即a=4時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩個(gè)零點(diǎn)，分別為x₁=2和；
3°當(dāng)，即a＞4時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，
由-x²+ax-a=0解得，，
∴函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為和．
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為0；
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)為；
當(dāng)a=4時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)2和；
當(dāng)a＞4時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)和．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點(diǎn)問題，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．