Question

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）若,求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）證明：見解析；（2）二面角的余弦值為．

【解析】

試題分析：（1）首先可得為正三角形．

根據(jù)為的中點(diǎn)，得到．進(jìn)一步有．

由平面，證得．

平面．即得．

（2）思路一：利用幾何方法.遵循“一作，二證，三計(jì)算”，過作于，有平面，

過作于，連接，

即得為二面角的平面角，

在中，.

思路二：利用“向量法”：由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

確定平面的一法向量及為平面的一法向量．

計(jì)算．

試題解析：（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022206070742187419/SYS201502220607119064242439_DA/SYS201502220607119064242439_DA.003.png">為的中點(diǎn)，所以．

又，因此．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022206070742187419/SYS201502220607119064242439_DA/SYS201502220607119064242439_DA.007.png">平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，

所以． （7分）

（2）解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022206070742187419/SYS201502220607119064242439_DA/SYS201502220607119064242439_DA.045.png">平面，平面，

所以平面平面．

過作于，則平面，

過作于，連接，

則為二面角的平面角，

在中，，，

又是的中點(diǎn)，在中，，

又， 在中，，

即所求二面角的余弦值為． （14分）

解法二：由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以

，

，

所以．

設(shè)平面的一法向量為，

則因此

取，則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022206070742187419/SYS201502220607119064242439_DA/SYS201502220607119064242439_DA.073.png">，，，

所以平面，

故為平面的一法向量．

又，

所以．

因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022206070742187419/SYS201502220607119064242439_DA/SYS201502220607119064242439_DA.080.png">為銳角，

所以所求二面角的余弦值為．

考點(diǎn)：1.垂直關(guān)系；2.空間的角；3.空間向量方法.