Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d為奇函數(shù)，且在點（2，f（2））處的切線方程為9x-y-16=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）+m的圖象與x軸僅有一個公共點，求m的范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴b=d=0，∴f（x）=ax³+cx∵f（x）過點（2，2），f'（x）=3ax²+c，
∴

2=8a+2c 9=12a+c

，
∴a=1，c=-3
∴f（x）=x³-3x（6分）
（2）設g（x）=f（x）+m，即g（x）=x³-3x+m，g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
當x變化時，g'（x）變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以g'（x）的極大值2+m，極小值-2+m
要y=f（x）+m與x軸只有一個交點，只需-2+m＞0或2+m＜0
故當m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）時，y=f（x）+m與x軸只有一個交點（13分）．