【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,左,右焦點(diǎn)分別是F1 , F2 , 以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓C上. (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)線段PQ是橢圓C過(guò)點(diǎn)F2的弦,且 =λ .
(i)求△PF1Q的周長(zhǎng);
(ii)求△PF1Q內(nèi)切圓面積的最大值,并求取得最大值時(shí)實(shí)數(shù)λ的值.
【答案】解:(Ⅰ)由題意可知,|PF1|+|PF2|=2a=3+1=4,可得a=2, 又 = ,a2﹣c2=b2 , 可得c=1,b= ,
即有橢圓C的方程為 =1.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知:a=2.
線段PQ是橢圓C過(guò)點(diǎn)F2的弦,則△PF1Q的周長(zhǎng)=4a=8.
(ii)因?yàn)槿切蝺?nèi)切圓的半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積是面積的2倍,
且△F1PQ的周長(zhǎng)是定值8,所以只需求出△F1PQ面積的最大值.
設(shè)直線l方程為x=my+1,與橢圓方程聯(lián)立得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,
設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ ,
|y1﹣y2|= = =12 .
于是 = |F1F2||y1﹣y2|=12 ,設(shè)m2+1=t≥1.
∵ = = ≤ ,
∴S△F1PQ≤3,
所以內(nèi)切圓半徑r= ≤ ,此時(shí)m=0,λ=1.
因此其面積最大值是 π
【解析】(Ⅰ)由題意可知,|PF1|+|PF2|=2a=4,可得a=2,又 = ,a2﹣c2=b2 , 解出即可得出.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知:a=2.線段PQ是橢圓C過(guò)點(diǎn)F2的弦,則△PF1Q的周長(zhǎng)=4a.(ii)因?yàn)槿切蝺?nèi)切圓的半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積是面積的2倍,且△F1PQ的周長(zhǎng)是定值8,所以只需求出△F1PQ面積的最大值.設(shè)直線l方程為x=my+1,與橢圓方程聯(lián)立得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,設(shè)P(x1 , y1span>),Q(x2 , y2),|y1﹣y2|= ,于是 = |F1F2||y1﹣y2|,進(jìn)而得出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù):f(x)=asin2x+cos2x且f( )= .
(1)求a的值和f(x)的最大值;
(2)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2 x.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)當(dāng) 時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,多面體ABCDPE的底面ABCD是平行四邊形,AD=AB=2, =0,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC=2,則二面角A﹣PB﹣E的大小為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且asinAsinB+bcos2A= a.
(1)求 ;
(2)若c2=a2+ b2 , 求角C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若a,b是函數(shù)f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,﹣4這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于( )
A.16
B.10
C.26
D.9
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)是奇函數(shù),且對(duì)于任意x∈R滿足f(2﹣x)=f(x),當(dāng)0<x≤1時(shí),f(x)=lnx+2,則函數(shù)y=f(x)在(﹣2,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(4,5cosα), =(3,﹣4tanα),α∈(0, ), ⊥ .
(1)求| ﹣ |;
(2)求cos( +α)﹣sin(α﹣π).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}中, (Ⅰ)求證: 是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式an;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}滿足 ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 若不等式 對(duì)一切n∈N*恒成立,求λ的取值范圍.
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