Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動，連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD．過P，D，B三點(diǎn)作⊙Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長DQ交⊙Q于點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF．

（1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（不包括A，B兩點(diǎn)）上時(shí)．
①求證：∠BDE=∠ADP；
②設(shè)DE=x，DF=y．請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）請你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,綜合題

分析：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4，把（4，0）代入即可；
（2）①先證出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根據(jù)∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，
②先連結(jié)PE，根據(jù)∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再證出∠DFE=∠DPE=45°，最后根據(jù)∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，從而求出DF=

2

DE，即y=

2

x；
（3）當(dāng)

BD

BF

=2時(shí)，過點(diǎn)F作FH⊥OB于點(diǎn)H，則∠DBO=∠BFH，再證出△BOD∽△FHB，

OB

HF

=

OD

HB

=

BD

FB

=2，得出FH=2，OD=2BH，再根據(jù)∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四邊形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4-

1

2

OD，根據(jù)DE=EF，求出OD的長，從而得出直線CD的解析式為y=

1

3

x+

4

3

，再聯(lián)解直線方程即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
當(dāng)

BD

BF

=

1

2

時(shí)，連結(jié)EB，先證出△DEF是等腰直角三角形，過點(diǎn)F作FG⊥OB于點(diǎn)G，同理可得△BOD∽△FGB，

OB

HF

=

OD

HB

=

BD

FB

=

1

2

，得出FG=8，OD=

1

2

BG，再證出四邊形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直線CD的解析式，最后聯(lián)解直線方程即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，解得k=-1，
則直線AB的函數(shù)解析式為y=-x+4；
（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，∴△BDO≌△CDO，可得∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，
②連結(jié)PE，
∵∠ADP是△DPE的一個(gè)外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一個(gè)外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，可得∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直徑，∴∠DEF=90°，可得△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=

2

DE，即y=

2

x；
（3）當(dāng)BD：BF=2：1時(shí)，過點(diǎn)F作FH⊥OB于點(diǎn)H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB，可得

OB

HF

=

OD

HB

=

BD

FB

=2，得FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，∴四邊形OEFH是矩形，可得OE=FH=2，EF=OH=4-

1

2

OD，
∵DE=EF，∴2+OD=4-

1

2

OD，解得OD=

4

3

，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，

4

3

），
∴直線CD的解析式為y=

1

3

x+

4

3

，
由

y= 1 3 x+ 4 3 y=-x+4

得：

x=2 y=2

，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；
當(dāng)

BD

BF

=

1

2

時(shí)，連結(jié)EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEB=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
過點(diǎn)F作FG⊥OB于點(diǎn)G，
同理可得△BOD∽△FGB，∴

OB

GF

=

OD

GB

=

BD

FB

=

1

2

，F(xiàn)G=8，OD=

1

2

BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四邊形OEFG是矩形，得OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，∴8-OD=4+2OD，OD=

4

3

，解得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-

4

3

），
直線CD的解析式為：y=-

1

3

x-

4

3

，
由

y=- 1 3 x- 4 3 y=-x+4

得：

x=8 y=-4

，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，-4），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（8，-4）．

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點(diǎn)是一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運(yùn)用有關(guān)知識作出輔助線，列出方程組．