【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門共有員工60人,為調(diào)查他們的睡眠情況,通過分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時)
甲部門 | 6 | 7 | 8 | |||
乙部門 | 5.5 | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 |
丙部門 | 5 | 5.5 | 6 | 6.5 | 7 | 8.5 |
(1)求該單位乙部門的員工人數(shù)?
(2)從甲部門和乙部門抽出的員工中,各隨機選取一人,甲部門選出的員工記為A,乙部門選出的員工記為B,假設所有員工睡眠的時間相互獨立,求A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率;
(3)若將每天睡眠時間不少于7小時視為睡眠充足,現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.
【答案】(1)24人;(2) ;(3)X的分布列見解析;數(shù)學期望為1
【解析】
(1)分層抽樣共抽取:3+6+6=15名員工,其中該單位乙部門抽取6名員工,由此能求出該單位乙部門的員工人數(shù).
(2)基本事件總數(shù)n18,利用列舉法求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件個數(shù),由此能求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率.
(3)X的可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率,由此能求出X的分布列和數(shù)學期望E(X).
(1)由題意,得到分層抽樣共抽取:3+6+6=15名員工,
其中該單位乙部門抽取6名員工,
∴該單位乙部門的員工人數(shù)為:624人.
(2)由題意甲部門抽取3名員工,乙部門抽取6名員工,
從甲部門和乙部門抽出的員工中,各隨機選取一人,
基本事件總數(shù)n18,
A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件(a,b)有12個:
(6,5.5),(6,6),(7,5.5),(7,6),(7,6.5),(7,7),(8,5.5),(8,6),(8,6.5),(8,7),(8,7.5),(8,8),
∴A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率p.
(3)由題意從丙部門抽出的員工有6人,其中睡眠充足的員工人數(shù)有2 人,
從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù),
則X的可能取值為0,1,2,
P(X=0),
P(X=1),
P(X=2),
∴X的分布列為:
X | 0 | 1 | 2 |
P |
E(X)1.
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【題目】對于實數(shù)a,b,定義運算“*”:a*b=,設f (x)=(x-4)*,若關(guān)于x的方程|f (x)-m|=1(m∈R)恰有四個互不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是________.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線的方程為.以坐標原點為極點, 軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)寫出曲線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設點在曲線上,點在曲線上,求的最大值.
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【題目】二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的型號二手汽車的使用年數(shù)與銷售價格(單位:萬元/輛)進行整理,得到如下數(shù)據(jù):
使用年數(shù) | ||||||
售價 | ||||||
下面是關(guān)于的折線圖:
(1)由折線圖可以看出,可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(2)求關(guān)于的回歸方程并預測某輛型號二手車當使用年數(shù)為年時售價約為多少?(、小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字)
(3)基于成本的考慮,該型號二手車的售價不得低于元,請根據(jù)(2)求出的回歸方程預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過多少年?
參考數(shù)據(jù):
,,,
,,
,,.
參考公式:回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
,.
,、為樣本平均值.
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【題目】為了了解學生的學習情況,一次測試中,科任老師從本班中抽取了n個學生的成績(滿分100分,且抽取的學生成績均在內(nèi))進行統(tǒng)計分析.按照,,,,,的分組作出頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表.
頻數(shù)分布表 | |
x | |
4 | |
10 | |
12 | |
8 | |
4 |
(1)求n,a,x的值;
(2)在選取的樣本中,從低于60分的學生中隨機抽取兩名學生,試問這兩名學生在同一組的概率是多少?
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【題目】已知橢圓C:與圓M:的一個公共點為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點M的直線l與橢圓C交于A、B兩點,且A是線段MB的中點,求的面積.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著,書中把三角形的田稱為“圭田”,把直角梯形的田稱為“邪田”,稱底是“廣”,稱高是“正從”,“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田,廣分別為十步和二十步,正從為十步,其內(nèi)有一塊廣為八步,正從為五步的圭田.若在邪田內(nèi)隨機種植一株茶樹,求該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】為響應綠色出行,某市在推出“共享單車”后,又推出“新能源分時租賃汽車”.其中一款新能源分時租賃汽車,每次租車收費的標準由兩部分組成:①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計費;②行駛時間不超過分時,按元/分計費;超過分時,超出部分按元/分計費.已知王先生家離上班地點15公里,每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素,每次路上開車花費的時間(分)是一個隨機變量.現(xiàn)統(tǒng)計了50次路上開車花費時間,在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示:
時間(分) | ||||
頻數(shù) | 2 | 18 | 20 | 10 |
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率,每次路上開車花費的時間視為用車時間,范圍為分.
(1)寫出王先生一次租車費用(元)與用車時間(分)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若王先生一次開車時間不超過40分為“路段暢通”,設表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù),求的分布列和期望;
(3)若公司每月給1000元的車補,請估計王先生每月(按22天計算)的車補是否足夠上、下班租用新能源分時租賃汽車?并說明理由.(同一時段,用該區(qū)間的中點值作代表)
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,判斷在上的單調(diào)性并證明;
(2)若對任意,不等式恒成立,求的取值范圍;
(3)討論函數(shù)的零點個數(shù).
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