(2012•豐臺(tái)區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax+
b
x
,兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸上,且在該點(diǎn)處切線相同.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求證:當(dāng)x>1時(shí),f(x)<g(x)成立;
(Ⅲ)證明:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>ln(n+1)
(n∈N*).
分析:(Ⅰ)利用f(x)與g(x)的圖象在x軸上有公共點(diǎn)(1,0),可得一等式,再利用在該點(diǎn)處切線相同,可得另一等式,由此可求a,b的值;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)=lnx-(
1
2
x-
1
2x
)
,求導(dǎo)數(shù),確定F(x)在x>1時(shí)單調(diào)遞減,即可證得結(jié)論;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得,
1
2
(x-
1
x
)>lnx
(x>1),令x=
k+1
k
,可得ln(k+1)-lnk<
1
2
(
1
k
+
1
k+1
)
,k=1,2,3…,n,將上述n個(gè)不等式依次相加,即可證得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:因?yàn)閒(x)與g(x)的圖象在x軸上有公共點(diǎn)(1,0),所以g(1)=0,即a+b=0.
又因?yàn)?span id="9ftxcan" class="MathJye">f′(x)=
1
x
,g′(x)=a-
b
x2
,
由題意f'(1)=g'(1)=1,所以a-b=1
所以a=
1
2
b=-
1
2
.                         …(4分)
(Ⅱ)證明:設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=lnx-(
1
2
x-
1
2x
)
,則F′(x)=
1
x
-
1
2
-
1
2x2
=-
1
2
(
1
x
-1)2<0

所以F(x)在x>1時(shí)單調(diào)遞減.
由F(1)=0可得當(dāng)x>1時(shí),F(xiàn)(x)<0,即f(x)<g(x).   …(9分)
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)得,
1
2
(x-
1
x
)>lnx
(x>1).
x=
k+1
k
,則ln
k+1
k
1
2
(
k+1
k
-
k
k+1
)=
1
2
[(1+
1
k
)-(1-
1
k+1
)]=
1
2
(
1
k
+
1
k+1
)
,
所以ln(k+1)-lnk<
1
2
(
1
k
+
1
k+1
)
,k=1,2,3…,n.
將上述n個(gè)不等式依次相加得 ln(n+1)<
1
2
+(
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)+
1
2(n+1)
,
所以1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>ln(n+1)+
n
2(n+1)
>ln(n+1)
.  …(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查不等式的證明,解題的關(guān)鍵是構(gòu)建新函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.
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96
96
種.

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x-4,x≥0
x2-2x,x<0
的“姐妹點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)為
1
1
;當(dāng)函數(shù)g(x)=ax-x-a有“姐妹點(diǎn)對(duì)”時(shí),a的取值范圍是
a>1
a>1

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年份x 2004 2005 2006 2007
恩格爾系數(shù)y(%) 47 45.5 43.5 41
從散點(diǎn)圖可以看出y與x線性相關(guān),且可得回歸方程為
?
y
=
?
b
x+4055.25
,據(jù)此模型可預(yù)測(cè)2012年該地區(qū)的恩格爾系數(shù)(%)為
31.25
31.25

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