(2012•豐臺區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)A,B同時(shí)滿足:①點(diǎn)A,B都在函數(shù)y=f(x)圖象上;②點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱,則稱點(diǎn)對(A,B)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)“姐妹點(diǎn)對”(規(guī)定點(diǎn)對(A,B)與點(diǎn)對(B,A)是同一個(gè)“姐妹點(diǎn)對”).那么函數(shù)f(x)=
x-4,x≥0
x2-2x,x<0
的“姐妹點(diǎn)對”的個(gè)數(shù)為
1
1
;當(dāng)函數(shù)g(x)=ax-x-a有“姐妹點(diǎn)對”時(shí),a的取值范圍是
a>1
a>1
分析:第一空:欲求f(x)的“姐妹點(diǎn)對”,只須作出函數(shù)y=x-4(x≥0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象,觀察它與函數(shù)y=x2-2x(x<0)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
第二空:構(gòu)建函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)和函數(shù)y=x+a,函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為y=-a-x,函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)只有一個(gè)“姐妹點(diǎn)對”,可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x+a與y=-a-x只有一個(gè)交點(diǎn),由此可得結(jié)論.
解答:解:根據(jù)題意可知,欲求f(x)的“姐妹點(diǎn)對”,只須作出函數(shù)y=x-4(x≥0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象,觀察它與函數(shù)y=x2-2x(x<0)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
函數(shù)y=x-4(x≥0)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為y=x+4(x<0)
在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)的圖象,觀察圖象可得:它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是:1.
即f(x)的“姐妹點(diǎn)對”有:1個(gè).
故答案為:1
當(dāng)函數(shù)g(x)=ax-x-a有“姐妹點(diǎn)對”時(shí):構(gòu)建函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)和函數(shù)y=x+a,函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為y=-a-x
∵函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)只有一個(gè)“姐妹點(diǎn)對”,
∴函數(shù)y=x+a與y=a-x只有一個(gè)交點(diǎn)
∵a>1時(shí),y=a-x單調(diào)減,與函數(shù)y=x+a圖象只有一個(gè)交點(diǎn);
0<a<1時(shí),y=a-x單調(diào)減,與函數(shù)y=x+a圖象沒有交點(diǎn);
此時(shí)有a>1;
故答案為a>1.
點(diǎn)評:本題考查新定義,考查函數(shù)的對稱性,以及數(shù)形結(jié)合的思想,解答的關(guān)鍵在于對“姐妹點(diǎn)對”的正確理解,合理地利用圖象法解決.考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力,屬于中檔題.
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年份x 2004 2005 2006 2007
恩格爾系數(shù)y(%) 47 45.5 43.5 41
從散點(diǎn)圖可以看出y與x線性相關(guān),且可得回歸方程為
?
y
=
?
b
x+4055.25
,據(jù)此模型可預(yù)測2012年該地區(qū)的恩格爾系數(shù)(%)為
31.25
31.25

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