【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,BC=6,PA=AD=CD=2,E為BC上一點且BE= BC,PB⊥AE.
(1)求證:AB⊥PE;
(2)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,
∴PA⊥AE,
又∵PB⊥AE,PB∩PA=P,
∴AE⊥平面PAB,又∵AB平面PAB,
∴AE⊥AB.
又∵PA⊥AB,PA∩AE=A,
∴AB⊥平面PAE,
又∵PE平面PAE,
∴AB⊥PE.
(2)解:以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz,
則B(2 ,0,0),P(0,0,2),C(﹣ ,3,0),D(﹣ ,1,0),
∴ =(﹣3 ,3,0), =(﹣ ,3,﹣2), =(0,2,0).
設(shè)平面PBC的一個法向量 =(x,y,z),
則 ,令x=1,得 =(1, , ).
同理可求平面PCD的一個法向量 =(2,0,﹣ ).
∴cos >= = =﹣ .
∵二面角B﹣PC﹣D為鈍二面角,
∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值為﹣ .
【解析】(1)推導出PA⊥AE,AE⊥AB.由此能證明AB⊥PE.(2)以A為坐標原點,建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用棱錐的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知圓:,點,過點的直線與圓交于不同的兩點(不在y軸上).
(1)若直線的斜率為3,求的長度;
(2)設(shè)直線的斜率分別為,求證:為定值,并求出該定值;
(3)設(shè)的中點為,是否存在直線,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】旅行社為去廣西桂林的某旅游團包飛機去旅游,其中旅行社的包機費為10000元,旅游團中的每人的飛機票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅游團的人數(shù)在20或20以下,飛機票每人收費800元;若旅游團的人數(shù)多于20,則實行優(yōu)惠方案,每多1人,機票費每張減少10元,但旅游團的人數(shù)最多為75,則該旅行社可獲得利潤的最大值為( )
A. 12000元B. 15000元C. 12500元D. 20000元
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【題目】如圖,正方形中,分別是的中點將分別沿折起,使重合于點.則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B. 平面
C. 二面角的余弦值為
D. 點在平面上的投影是的外心
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【題目】某3D打印機,其打出的產(chǎn)品質(zhì)量按照百分制衡量,若得分不低于85分則為合格品,低于85分則為不合格品,商家用該打印機隨機打印了15件產(chǎn)品,得分情況如圖;
(1)寫出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù),并估計該打印機打出的產(chǎn)品為合格品的概率;
(2)若打印一件合格品可獲利54元,打印一件不合格品則虧損18元,記X為打印3件產(chǎn)品商家所獲得的利潤,在(1)的前提下,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】某3D打印機,其打出的產(chǎn)品質(zhì)量按照百分制衡量,若得分不低于85分則為合格品,低于85分則為不合格品,商家用該打印機隨機打印了15件產(chǎn)品,得分情況如圖;
(1)寫出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù),并估計該打印機打出的產(chǎn)品為合格品的概率;
(2)若打印一件合格品可獲利54元,打印一件不合格品則虧損18元,記X為打印3件產(chǎn)品商家所獲得的利潤,在(1)的前提下,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】經(jīng)國務(wù)院批復(fù)同意,鄭州成功入圍國家中心城市,某校學生團針對“鄭州的發(fā)展環(huán)境”對20名學生進行問卷調(diào)查打分(滿分100分),得到如圖1所示莖葉圖.
(1)分別計算男生女生打分的平均分,并用數(shù)學特征評價男女生打分的數(shù)據(jù)分布情況;
(2)如圖2按照打分區(qū)間繪制的直方圖中,求最高矩形的高;
(3)從打分在70分以下(不含70分)的同學中抽取3人,求有女生被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左焦點左頂點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知,是橢圓上的兩點,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.若,試問直線的斜率是否為定值?請說明理由.
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