Question

已知二次函數(shù)f（x）=mx²-2x-3，若不等式f（x）＜0的解集為（-1，n）．
（1）解關(guān)于x的不等式：2x²-4x+n＞（m+1）x-1；
（2）是否存在實數(shù)a∈（0，1），使得關(guān)于x的函數(shù)y=f（a^x）-4a^x+1（x∈[1，2]）的最小值為-4？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出m與n的值，再求不等式的解集；
（2）用換元法，得函數(shù)y=t²-（4a+2）t-3，求出最小值為-4時的a的值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=mx²-2x-3，且f（x）＜0的解集為（-1，n），
∴方程mx²-2x-3=0的兩個實數(shù)根是-1，n，且m＞0；
∴

-1+n= 2 m -1×n=- 3 m

，
解得

m=1 n=3

；
∴原不等式可化為（x-2）（x-1）＞0，
解得解集為（-∞，1）∪（2，+∞）；
（2）設(shè)t=a^x，且a∈（0，1），
∴x∈[1，2]時，a^x∈[a²，a]；
函數(shù)y=f（a^x）-4a^x+1=t²-（4a+2）t-3，
對稱軸是t=2a+1＞a，
∴y_min=a²-（4a+2）a-3=-4，
解得a=

1

3

或a=-1（舍去）；
∴存在實數(shù)a=

1

3

．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，考查了換元法的應(yīng)用問題，是中檔題．