Question

已知拋物線的方程為y²=4x，直線L過定點(diǎn)P（-2，1），斜率為k．當(dāng)k為何值時(shí)直線與拋物線
（1）只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（3）沒有公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：設(shè)出直線方程代入拋物線方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）只有一個(gè)根
（2）直線與拋物線有2個(gè)公共點(diǎn)?（*）有兩個(gè)根
（3）直線與拋物線沒有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）沒有根

解答：解：由題意可設(shè)直線方程為：y=k（x+2）+1，
代入拋物線方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于（*）只有一個(gè)根
①k=0時(shí)，y=1符合題意；
②k≠0時(shí)，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=

1

2

或k=-1．
綜上可得，k=

1

2

或k=-1或k=0；
（2）由（1）得2k²+k-1＞0，∴k＞

1

2

或k＜-1；
（3）由（1）得2k²+k-1＜0，∴-1＜k＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由直線與拋物線的位置關(guān)系的求解參數(shù)的取值范圍，一般的思路是把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程解的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．