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(2013•靜安區(qū)一模)某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是正方形,其中AB=2米;上部CDG是等邊三角形,固定點E為AB的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.
(1)設MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關于x的函數;
(2)求△EMN的面積S(平方米)的最大值.
分析:(1)分類求出MN在矩形區(qū)域、三角形區(qū)域滑動時,△EMN的面積,可得分段函數;
(2)分類求出△EMN的面積的最值,比較其大小,即可得到最值.
解答:解:(1)①如圖1所示,當MN在正方形區(qū)域滑動,
即0<x≤2時,△EMN的面積S=
1
2
×2×x
=x;(2分)
②如圖2所示,當MN在三角形區(qū)域滑動,即2<x<2+
3
時,連接EG,交CD于點F,交MN于點H,
∵E為AB中點,
∴F為CD中點,GF⊥CD,且FG=
3

又∵MN∥CD,
∴△MNG∽△DCG.
MN
DC
=
GH
GF
,即MN=
2(
3
+2-x)
3
.(5分)
故△EMN的面積S=
1
2
2(
3
+2-x)
3
•x
=-
3
3
x2+(1+
2
3
3
)x
; (7分)
綜合可得:S=
x,0<x≤2
-
3
3
x2+(1+
2
3
3
)x,2<x<2+
3
(8分)
說明:討論的分段點x=2寫在下半段也可.
(2)①當MN在正方形區(qū)域滑動時,S=x,所以有0<S≤2;(10分)
②當MN在三角形區(qū)域滑動時,S=-
3
3
x2+(1+
2
3
3
)x

因而,當x=1+
3
2
<2
(米),S在(2,2+
3)
上遞減,無最大值,0<S<2.
所以當x=2時,S有最大值,最大值為2平方米.(14分)
點評:本題考查函數模型的建立,考查函數的最值,考查學生分析解決問題的能力,確定分段函數是關鍵.
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-1
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1
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4
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