【題目】如圖,在平面直角坐標系中,過軸正方向上一點任作一直線,與拋物線相交于兩點,一條垂直于軸的直線分別與線段和直線交于點.
(1)若,求的值;
(2)若為線段的中點,求證:直線與該拋物線有且僅有一個公共點.
(3)若直線的斜率存在,且與該拋物線有且僅有一個公共點,試問是否一定為線段的中點?說明理由.
【答案】(1).(2)見解析(3)是的中點.見解析
【解析】
(1)聯(lián)立方程利用韋達定理得到,,再根據(jù),計算得到答案.
(2)計算.,設(shè)在上, 且滿足,故, 與聯(lián)立得, 得到答案.
(3)設(shè),計算得到,,. 與聯(lián)立得到得到答案.
(1) 設(shè),與聯(lián)立, 得. 故
從而,根據(jù)解得到得或,
舍去負值, 得.
(2) , 故..
設(shè)在上, 且滿足.
, 故直線的方程為,
而.
故, 與聯(lián)立得,
故直線與該拋物線有且僅有一個公共點.
(3) 設(shè), 這里, 由(2)知過的與有且僅有一個公共點的斜率存在的直線必為.與相交, 得.
故. , 所以. 與聯(lián)立,
得, 即, 故.
這樣, 即是的中點.
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【題目】已知點P(1,2)在拋物線C:y2=2px(p>0)上.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)斜率為﹣1的直線與C交于異于點P的兩個不同的點M,N,若直線PM,PN分別與x軸交于A,B兩點,求證:△PAB為等腰三角形.
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【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)當時, 在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),,記
(1)證明:有且僅有一個零點;
(2)記的零點為,,若在內(nèi)有兩個不等實根,判斷與的大小,并給出對應的證明.
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【題目】現(xiàn)代社會的競爭,是人才的競爭,各國、各地區(qū)、各單位都在廣納賢人,以更好更快的促進國家、地區(qū)、單位的發(fā)展.某單位進行人才選拔考核,該考核共有三輪,每輪都只設(shè)置一個項目問題,能正確解決項目問題者才能進入下一輪考核;不能正確解決者即被淘汰.三輪的項目問題都正確解決者即被錄用.已知A選手能正確解決第一、二、三輪的項目問題的概率分別為、、,且各項目問題能否正確解決互不影響.
(1)求A選手被淘汰的概率;
(2)設(shè)該選手在選拔中正確解決項目問題的個數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若曲線在點處的切線與直線垂直,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)用表示,中的較大者,記函數(shù).若函數(shù)在內(nèi)恰有2個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C:l(a>b>0)經(jīng)過點(,1),且離心率e.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l與橢圓C相交于AB兩點,且滿足∠AOB=90°(O為坐標原點),求|AB|的取值范圍.
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【題目】如圖1,在等腰中,,,分別為,的中點,為的中點,在線段上,且。將沿折起,使點到的位置(如圖2所示),且。
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值
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