Question

（本題12分）在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點(diǎn)，如下左圖。將沿AB折到的位置，使，點(diǎn)E在SD上，且，如下圖。

（1）求證：平面ABCD；
（2）求二面角E—AC—D的正切值．

Answer 1

（1）證明思路，為正方形，，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/44/c/1biyf2.png" style="vertical-align:middle;" />，ABBC，所以BC平面SAB，推出SA平面ABCD，
（2）

解析試題分析：（1）證明：在圖中，由題意可知，

為正方形，所以在圖中，，
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/44/c/1biyf2.png" style="vertical-align:middle;" />，ABBC，
所以BC平面SAB，
又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，
所以SA平面ABCD，
（2）解法一： 在AD上取一點(diǎn)O，使，連接EO。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a6/8/tpoyd1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以EO//SA
所以EO平面ABCD，過(guò)O作OHAC交AC于H，連接EH，
則AC平面EOH，所以ACEH。
所以為二面角E—AC—D的平面角，
在中，
，即二面角E—AC—D的正切值為
解法二：如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

 
易知平面ACD的法向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/37/0/hghzt1.png" style="vertical-align:middle;" />
設(shè)平面EAC的法向量為
 
由，所以，可取
所以
所以
所以,即二面角E—AC—D的正切值為
考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則能簡(jiǎn)化證明過(guò)程。本題解答利用兩種解法作答，各有所長(zhǎng)。