Question

已知g（x）=

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞），是否存在實(shí)數(shù)a，b，使g（x）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：（1）g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)；（2）g（x）的最小值是3．若存在，求出a、b，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，可得g′（1）=0，利用g（x）的最小值是3，可得g（1）=0，由此即可得到結(jié)論．

解答：解：∵g（x）=

x2+ax+b

x

，∴g′（x）=1-

b

x2

∵g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g′（1）=0，∴b=1
∵g（x）的最小值是3
∴g（1）=1+a+b=3，∴a=1
綜上，a=1，b=1．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性與最值是關(guān)鍵．