Question

已知g（x）=x²+1，f（x）是二次函數(shù)，且f（x）+g（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最大值為

1

2

，求f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：根據(jù)題意先設(shè)出函數(shù)f（x）的解析式，再由奇函數(shù)的關(guān)系求出a、c的值，再由二次函數(shù)的性質(zhì)和最大值求出b的值．

解答：解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則F（x）=f（x）+g（x）=（a+1）x²+bx+c+1為奇函數(shù)，
∴F（0）=0，且F（1）=-F（-1），∴a=-1，c=-1，得到f（x）=-x²+bx-1，
∵當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最大值為

1

2

，∴

b 2 ＜-1 f(-1)= 1 2

或

-1≤ b 2 ≤2 f( b 2 )= 1 2

或

b 2 ＞2 f(2)= 1 2

解得b=-

5

2

，b=

6

所以f(x)=-x2-

5

2

x-1或f(x)=-x2+

6

x-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，即設(shè)出解析式利用題意列出方程，求出對(duì)應(yīng)的系數(shù)值，對(duì)于函數(shù)參數(shù)的二次函數(shù)一定注意對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，分類討論后再求出參數(shù)的值，考查了分類討論思想的應(yīng)用．