Question

在雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1上求一點(diǎn)，使它到直線l：x-y-3=0的距離最短，并求最短距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：令與雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1相切的直線為x-y+b=0，則雙曲線上點(diǎn)到直線l：x-y-3=0的距離最短等價(jià)于切線到直線l：x-y-3=0的距離最短，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：令與雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1相切的直線為x-y+b=0，
則雙曲線上點(diǎn)到直線l：x-y-3=0的距離最短等價(jià)于切線到直線直線l：x-y-3=0的距離，
聯(lián)立

x2 25 - y2 9 =1 x-y+b=0

，得16x²+50bx+25（b²+9）=0，
△=2500b²-4×16×25（b²+9）=0，解得b²=16，
∴b=4（舍）或b=-4，
把y=x-4代入

x2

25

-

y2

9

=1，解得：x=

25

4

，y=

9

4

，
∴雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1上的點(diǎn)（

25

4

，

9

4

）到直線x-y-3=0的距離最短，
最短距離為d=

| 25 4 - 9 4 -3|

2

=

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線上到直線的距離對短的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運(yùn)用．