Question

如圖，等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，M為AB的中點(diǎn)．
（1）證明：CM⊥DE；
（2）在邊AC上找一點(diǎn)N，使CD∥平面BEN．

Answer 1

分析：（1）由已知中因?yàn)锽C=AC，M為AB中點(diǎn)，我們易得CM⊥AB，又由等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，可得CM⊥平面ABDE，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即可證明CM⊥DE；
（2）連接AD交BE于點(diǎn)K，連接KN，由已知中直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，M為AB的中點(diǎn)．我們易得KN∥CD，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：因?yàn)锽C=AC，M為AB中點(diǎn)．所以CM⊥AB，
又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ABDE，平面ABC∩平面ABDE=AB，CM?平面ABC，
所以CM⊥平面ABDE，
又因DE?平面ABDE，所以CM⊥DE；（7分）
（2）當(dāng)

AN

AC

=

1

3

時(shí)，CD∥平面BEN．
連接AD交BE于點(diǎn)K，連接KN，
因梯形ABDE中BD∥AE，BD=2AE，
所以

AK

KD

=

AE

BD

=

1

2

，則

AK

AD

=

1

3

又因

AN

AC

=

1

3

，所以KN∥CD（14分）
又KN?平面BEN，CD?平面BEN，所以CD∥平面BEN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)及直線與平面平行的判定，線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問(wèn)題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說(shuō)，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來(lái)．