Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓和拋物線交于，兩點(diǎn)，且直線恰好通過橢圓的右焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)的直線和橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓及拋物線的對(duì)稱性可知，軸，設(shè)，，，依題意為橢圓的通徑，所以，再由，，解得，，，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，，，由已知，則有，解出，，代入橢圓方程，又兩點(diǎn)在橢圓上，所以，，代入前面的式子得到，然后設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，得到關(guān)于的一元二次方程，表示出，代入中即得到關(guān)于的方程，解方程就可求出.

試題解析：（1）由知，可設(shè)，，，其中，

由已知，代入橢圓中得 ，即，解得，

從而，，，故橢圓方程為．

（2）設(shè)，，，由已知，

從而，，由于，，均在橢圓上，

故有，，，

第三個(gè)式子變形為，

將第一、二個(gè)式子代入得，（*）

分析知直線的斜率不為零，故可設(shè)直線方程為，與橢圓聯(lián)立得：

，由韋達(dá)定理，，

將（*）變形為：，

即，

將韋達(dá)定理代入上式得：，解得，

因?yàn)橹本�的斜率，故直線的斜率為．