【題目】如圖，已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑．

（1）若圓柱的體積為，，，求異面直線與所成的角（用反三角函數(shù)值表示結(jié)果）；

（2）若圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，四面體的外接球為球，求兩點在球上的球面距離．

【答案】（1）異面直線與所成的角為；（2）．

【解析】

（1）由題設條件，以O為原點，分別以OB，OO1為y，z軸的正向，并以AB的垂直平分線為x軸，建立空間直角坐標系，求出與的坐標，用公式求出線線角的余弦即得．

（2）由題意找到球心并求得R與∠AGB，即可求出A,B兩點在球G上的球面距離．

（1）以O為原點，分別以OB，OO1為y，z軸的正向，并以AB的垂直平分線為x軸，

建立空間直角坐標系．

由題意圓柱的體積為=4，解得AA1＝3．

易得各點的坐標分別為：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．

得，，

設與的夾角為θ，異面直線A1B與AP所成的角為α，

則，得，

即異面直線A1B與AP所成角的大小為arccos．

（2）由題意得AA1＝2，OB=1，四面體的外接球球心在A1B的中點，所以R=,此時=，所以兩點在球上的球面距離為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左右焦點分別為,,,為橢圓上的兩動點，且以,,，四個點為頂點的凸四邊形的面積的最大值為．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓經(jīng)過點，且直線的斜率是直線，的斜率的等比中項，求面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面四邊形中，等邊三角形，，以為折痕將折起，使得平面平面．

（1）設為的中點，求證：平面；

（2）若與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）設是的中點，判斷并證明在線段上是否存在點，使平面，若存在，求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學一位高三班主任對本班50名學生學習積極性和對待班級工作的態(tài)度進行調(diào)查，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：

積極參加班級工作

不積極參加班級工作

合計

學習積極性高

18

7

25

學習積極性不高

6

19

25

合計

24

26

50

如果隨機調(diào)查這個班的一名學生，求事件A：抽到不積極參加班級工作且學習積極性不高的學生的概率；

若不積極參加班級工作且學習積極性高的7名學生中有兩名男生，現(xiàn)從中抽取兩名學生參加某項活動，請用字母代表不同的學生列舉出抽取的所有可能結(jié)果；

在的條件下，求事件B：兩名學生中恰有1名男生的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點及圓.

（1）若直線過點且被圓截得的線段長為，求的方程；

（2）求過點的圓的弦的中點的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成的三角形面積為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設與圓O：相切的直線l交橢圓C于A，B兩點（O為坐標原點），求△AOB面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為32，48，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查．

Ⅰ應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

Ⅱ若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．

用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的數(shù)學期望和方差；

設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若直線與曲線恒相切于同一定點，求直線的方程；

（2）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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