Question

已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax²＋(2－a)x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)設(shè)a>0，證明：當(dāng)0<x<時(shí)，f>f；
(3)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，證明：＜0.

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞增，在上是減函數(shù)（2）見解析（3）見解析

(1)解：f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞),
f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
②若a>0，則由f′(x)＝0得x＝，且當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>時(shí)，f′(x)<0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上是減函數(shù).
(2)解：設(shè)函數(shù)g(x)＝f－f，
則g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝－2a＝.
當(dāng)0<x<時(shí)，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0.
故當(dāng)0<x<時(shí)，f>f.
(3)證明：由(1)可得，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，
故a>0，從而f(x)的最大值為f，且f>0.
不妨設(shè)A(x₁，0)，B(x₂，0)，0<x₁<x₂，則0<x₁<<x₂.
由(2)得f＝f>f(x₁)＝0.
從而x₂>－x₁，于是x₀＝>.由(1)知，f′(x₀)<0