Question

11．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，$\overrightarrow m$=（cosA+2sinA，-3sinA），$\overrightarrow n$=（sinA，cosA-2sinA），
（1）若$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$且角A為銳角，求角A的大��；
（2）在（1）的條件下，若cosB=$\frac{4}{5}$，c=7，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$可得$sinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，結(jié)合角A為銳角，即可解得A的值．
（2）在△ABC中，已知A，B的三角函數(shù)值，可求得sinC的值，再由正弦定理可得a的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，$\overrightarrow m$=（cosA+2sinA，-3sinA），$\overrightarrow n$=（sinA，cosA-2sinA），
∴（cosA+2sinA）（cosA-2sinA）=-3sin²A，
∴解得：$sinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又∵角A為銳角，
∴$A=\frac{π}{4}$．
（2）在△ABC中，$cosB=\frac{4}{5}$，則$sinB=\frac{3}{5}$．
∴$cosC=-cos（{A+B}）=-cosAcosB+sinAsinB=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
∴$sinC=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，
∴由正弦定理得$\frac{7}{{\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}}=\frac{a}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}$，解得a=5．

點評 本題主要考查了正弦定理，平行向量和共線向量的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．