Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根為S_n－1，n＝1,2,3，….
(1)求a₁，a₂；
(2)猜想數(shù)列{S_n}的通項公式，并給出嚴格的證明．

Answer 1

(1) a₁＝. a₂＝ 
(2)猜想S_n＝，n＝1,2,3，….

(1)先令n=1，則s₁-1即a₁-1是方程的一個根，因而建立關(guān)于a₁的方程求出a₁的值.同理再利用n=2時，求出a₂.
(2)由條件可知(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0,化簡得S－2S_n＋1－a_nS_n＝0,
然后利用n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1,把a_n代入上式，消去a_n,就找到了s_n與s_n-1之間的遞推關(guān)系，求出s₁,s₂,s₃,然后觀察規(guī)律，歸納出s_n,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可
(1)當(dāng)n＝1時，x²－a₁x－a₁＝0有一根為S₁－1＝a₁－1，于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝. 當(dāng)n＝2時，x²－a₂x－a₂＝0有一根為S₂－1＝a₂－， 于是(a₂－)²－a₂(a₂－)－a₂＝0，解得a₂＝ 
(2)由題設(shè)(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，S－2S_n＋1－a_nS_n＝0.當(dāng)n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1，
代入上式得S_n－1S_n－2S_n＋1＝0.①由(1)得S₁＝a₁＝，S₂＝a₁＋a₂＝＋＝.
由①可得S₃＝.由此猜想S_n＝，n＝1,2,3，….
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論．
(i)n＝1時已知結(jié)論成立．
(ii)假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即S_k＝，當(dāng)n＝k＋1時，由①得S_k＋1＝，即S_k＋1＝，故n＝k＋1時結(jié)論也成立．
綜上，由(i)、(ii)可知S_n＝對所有正整數(shù)n都成立．