Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABC．
（Ⅰ）若M、N分別為AB、A₁C的中點(diǎn)，求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱BB₁與底面ABC所成的角為
60°．問(wèn)在線段CC₁上是否存在一點(diǎn)P，使得平面ABP與底面ABC的所成角為
60°，若存在，求BP的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AC₁，利用三角形的中位線證明：MN∥BC₁，然后利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（Ⅱ）過(guò)B₁作BC的垂線，垂足為O，證明B₁O⊥平面ABC，BC⊥AO，以O(shè)為原點(diǎn)，BC所在直線為X軸，OA為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC₁的法向量，平面ABC的法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角是余弦函數(shù)值，從而說(shuō)明P不存在．

解答： 解：（I）連接AC₁，BC₁，∵M(jìn)、N分別為AB、A₁C的中點(diǎn)，
∴MN

∥

.

1

2

BC1，MN?平面BCC₁B₁；BC₁?平面BCC₁B₁；
∴MN∥平面BCC₁B₁；
（II）過(guò)B₁作BC的垂線，垂足為O，∵側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABC
所以B₁O⊥平面ABC，-----------------------（6分）
所以∠B₁BC就是側(cè)棱BB₁與底面ABC所成的角，即∠B₁BC=60°--（7分）
又AB=AC，所以BC⊥AO，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，BC所在直線為X軸，OA為y軸建立空間直角坐標(biāo)系
則B(-1，0，0)，C(1，0，0)，A(0，

3

，0)，B1(0，0，

3

)，
∵

BB1

=

CC1

∴C1(2，0，

3

)，----（8分）

BA

=(1，

3

，0)，

BC1

=(3，0，

3

)，
設(shè)平面ABC₁的法向量為

n1

=(x，y，z)
則

BA • n1 =0 BC1 • n1 =0

⇒

x+ 3 y=0 3x+ 3 z=0

，
令x=

3

，則y=-1，x=-3，所以

n1

=(

3

，-1，-3)---（10分）
又平面ABC的法向量為

n2

=（0，0，1），設(shè)平面使得平面ABC₁與底面ABC的所成角為α
所以cosα=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

3

13

＞cos60°=

1

2

，
又y=cosx在[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，
所以在CC₁上不存在點(diǎn)P，使得平面ABP與底面ABC的所成角為60°-------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，向量法求解二面角的平面角的大小，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．