Question

如圖，已知實數(shù)t滿足t∈（0，10），由t確定的兩個任意點P（t，t），Q（10-t，0），問：
（1）直線PQ是否能通過點M（6，1）和點N（4，5）？
（2）在△OPQ中作內(nèi)接正方形ABCD，頂點A、B在邊OQ上，頂點C在邊PQ上，頂點D在邊OP上．
求圖中陰影部分面積的最大值并求對應(yīng)的頂點A、B、C、D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：平行線分線段成比例定理

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）可先求直線PQ的方程再把點M，點N的坐標(biāo)代入檢驗即可得到結(jié)論．
（2）陰影部分的面積即為三角形的面積減去正方形的面積，作差求最值即可．

解答： 解：（1）直線PQ方程：tx-（2t-10）y+t²-10t=0
若通過點M，則得：t²-6t+10=0，t無解
若通過點N，則得：t=8-

14

，或t=8+

14

（舍）
故：直線PQ一定不過點M，當(dāng)t=8-

14

時可以過點N..（5分）
（2）設(shè)邊長為a，則A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）
把點C坐標(biāo)代人直線PQ得：t²-10t=-10a
又S陰=

1

2

t(10-t)-a2=5a-a2，
由t∈（0，10）且10-t≥t知t∈（0，5]，則a∈(0，

5

2

]
故當(dāng)a=

5

2

時，S_陰取最大值

25

4

，此時所求的對應(yīng)坐標(biāo)為A(

5

2

，0)，B(5，0)，C(5，

5

2

)，D(

5

2

，

5

2

)…（10分）

點評：轉(zhuǎn)化思想是我們高中�？嫉囊环N解題思想，常用于正面不好求，但轉(zhuǎn)化后好求的題中．