Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四邊形，∠ADC=60°， ，PA⊥面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC
（Ⅱ）若PA=AB= ，求三棱錐P﹣AEC的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：因?yàn)镻A⊥面ABCD，又AB平面ABCD，

所以AB⊥PA，

又因?yàn)椤螦BC=∠ADC=60°， ，

在△ABC中，由余弦定理有：

AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=BC2﹣AB2

所以AB2+AC2=BC2，

即：AB⊥AC，

又因?yàn)镻A∩AC=A，又PA平面PAC，AC平面PAC，

所以AB⊥平面PAC，

又PC平面PAC，所以AB⊥PC．

（Ⅱ）解：由已知有： ，

所以PA=AB=2，AD=4，因?yàn)镻A⊥面ABCD

且E為PD的中點(diǎn)，所以E點(diǎn)到平面ADC的距離為 ，

所以三棱錐P﹣AEC的體積：

VP﹣AEC=VD﹣AEC=VE﹣ADC=

= × ．

【解析】（1）因?yàn)镻A⊥面ABCD，則AB⊥PA，根據(jù)邊角的大小關(guān)系，由余弦定理可證出△ABC為直角三角形，即AB⊥AC，從而可證出AB⊥面PAC，即AB⊥PC，（2）由已知可得出其各邊的大小，由于E為PD的中點(diǎn)，則不難得出E到面ADC的距離為1，VP﹣AEC=VD﹣AEC=VE﹣ADC= S △ A D C，即可得出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)才能正確解答此題．