Question

（2008•寶山區(qū)二模）已知0＜k＜4，直線l1：y-4=

k

2

(x-2)和直線l2：y-4=-

8

k2

(x-2)與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，則使這個四邊形面積最小的k值是

1

2

．

Answer 1

分析：先求出兩直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線與x 軸的交點(diǎn)，與y 軸的交點(diǎn)，得到所求的四邊形，利用四邊形的面積等于三角形ABD的面積和梯形 OCBD的面積之和，再應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積最小時的k 值．

解答：解：如圖所示：
直線l1：y-4=

k

2

(x-2)，過定點(diǎn)B（2，4），
與y 軸的交點(diǎn)C（0，4-k），
直線l2：y-4=-

8

k2

(x-2)，過定點(diǎn)（2，4 ），與x 軸的交點(diǎn)A（

1

2

k²+2，0），
由題意知，四邊形的面積等于三角形ABD的面積和梯形 OCBD的面積之和，故所求四邊形的面積為

1

2

×4×（

1

2

k²+2-2）+

2×(4-k+4)

2

=k²-k+8，∴k=

1

2

時，所求四邊形的面積最小，
故答案為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線過定點(diǎn)問題，本題考查過頂點(diǎn)的直線和四邊形的面積的最值，在立體幾何和解析幾何中，不論求什么圖形的面積一般都要表示出結(jié)果，再用函數(shù)的最值來求，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．