在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點．A（1，0）和點B（-1，0），|
OC
|=1，且∠AOC=x，其中O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）若x=
3
4
π，設(shè)點D為線段OA上的動點，求|
OC
+
OD
|的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，
π
2
]，向量
m
=
BC
，
n
=(1-cosx，sinx-2cosx)，求
m
•
n
的最小值及對應(yīng)的x值．
分析：（Ⅰ） 設(shè)D（t，0）（0≤t≤1），化簡 |
OC
+
OD
|2=
1
2
-
2
t+t2+
1
2
=t2-
2
t+1=(t-
2
2
)2+
1
2
(0≤t≤1)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．
（Ⅱ）由題意得
m
•
n
=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1-
2
sin（2x+
π
4
），再利用
正弦函數(shù)的定義域和值域 求出它的最小值．
解答：解：（Ⅰ）若x=
3
4
π，設(shè)D（t，0）（0≤t≤1），可得C(-
2
2
，
2
2
)，
所以，
OC
+
OD
=(-
2
2
+t，
2
2
)，
所以 |
OC
+
OD
|2=
1
2
-
2
t+t2+
1
2
=t2-
2
t+1…（3分）
=(t-
2
2
)2+
1
2
(0≤t≤1)，
所以當(dāng)t=
2
2
時，|
OC
+
OD
|2取得最小值為
1
2
，故|
OC
+
OD
|最小值為
2
2
．…（6分）
（Ⅱ）由題意得C（cosx，sinx），
m
=
BC
=(cosx+1，sinx)
則
m
•
n
=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1-
2
sin（2x+
π
4
）．…（9分）
因為x∈[0，
π
2
]，所以
π
4
≤2x+
π
4
≤
5π
4
．
所以當(dāng)2x+
π
4
=
π
2
，即x=
π
8
時，sin(2x+
π
4
)取得最大值1，
所以x=
π
8
時，
m
•
n
=1-
2
sin(2x+
π
4
)取得最小值1-
2
，
所以
m
•
n
的最小值為1-
2
，此時x=
π
8
． …（12分）
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數(shù)量積的公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x2-2|x|-1．
（Ⅰ）證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（Ⅱ）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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34
π．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）過點P作PH⊥OA交OA于H，求△OHP得周長的最大值及此時P點得坐標(biāo)．

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已知函數(shù)f（x）=x2-2|x|-1．
（1）證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的圖象．
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（2012•鹽城一模）在綜合實踐活動中，因制作一個工藝品的需要，某小組設(shè)計了如圖所示的一個門（該圖為軸對稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長6分米的材料彎折而成，BC邊的長為2t分米（1≤t≤
3
2
）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線C1是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其解析式為y=cosx-1），此時記門的最高點O到BC邊的距離為h1（t）；曲線C2是一段拋物線，其焦點到準(zhǔn)線的距離為
9
8
，此時記門的最高點O到BC邊的距離為h2（t）．
（1）試分別求出函數(shù)h1（t）、h2（t）的表達(dá)式；
（2）要使得點O到BC邊的距離最大，應(yīng)選用哪一種曲線？此時，最大值是多少？

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