定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)的最小值為3,且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=3ex+a,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式.(2)求最大的整數(shù)m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤3ex.
分析:(1)由y=ex是增函數(shù),得知f(x)也是(0,+∞)上增函數(shù),再由f(x)為偶函數(shù),則f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),從而當(dāng)x=0時(shí)有最小值求得a值,然后利用偶函數(shù)求對稱區(qū)間上的解析式即可.
(2)先假設(shè)當(dāng)x∈[1,m]時(shí),存在t∈R,有f(x+t)≤3ex,則有f(1+t)≤3e,下面要選擇解析式,所以要分1+t≥0時(shí)和1+t≤0時(shí)兩種情況得t的范圍,同樣地,有f(m+t)≤3em及m≥2,得em+t≤em轉(zhuǎn)化為et
em
em
由t的存在性可知,上述不等式在[-2,0]上必有解,只要求得et在[-2,0]上的最小值可即可.
解答:解:(1)∵y=ex是增函數(shù),∴當(dāng)x≥0時(shí),f(x)為增函數(shù),又f(x)為偶函數(shù),∴f(x)min=f(0)=3+a,∴3+a=3.∴a=0
當(dāng)x<0時(shí),∵-x>0∴f(x)=f(-x)=3e-x
綜上,f(x)=
3ex?x≥0
3e-x?x<0

(2)當(dāng)x∈[1,m]時(shí),有f(x+t)≤3ex,∴f(1+t)≤3e
當(dāng)1+t≥0時(shí),3e1+t≤3e即e1+t≤e,1+t≤1,∵-1≤t≤0
當(dāng)1+t≤0時(shí),同理,-2≤t≤-1,∴-2≤t≤0
同樣地,f(m+t)≤3em及m≥2,得em+t≤em∴et
em
em

由t的存在性可知,上述不等式在[-2,0]上必有解.
∵et在[-2,0]上的最小值為e-2,∵e-2
em
em
,即em-e3m≤0①
令g(x)=ex-e3x,x∈[2,+∞).
則g'(x)=ex-e3由g'(x)=0得x=3
當(dāng)2≤x<3時(shí),g'(x)<0,g(x)是減函數(shù);當(dāng)x>3時(shí),g'(x)>0,g(x)是增函數(shù)
∴g(x)的最小值是g(3)=e3-3e3=-2e3<0,
又g(2)<0,g(4)<0,g(5)>0,
∴g(x)=0在[2,+∞)上有唯一解m0∈(4,5).
當(dāng)2≤x≤m0時(shí),g(x)≤0,當(dāng)x>m0時(shí),g(x)>0∴在x∈[2,+∞)時(shí)滿足不等式①的最大實(shí)數(shù)解為m0
當(dāng)t=-2,x∈[1,m0]時(shí),f(x-2)-3ex=3e(e|x-2|-1-x),在x∈[1,2)時(shí),∵e|x-2|-1=e1-x≤1∴f(x-2)-3ex≤0,在x∈[2,m0]時(shí),f(x-2)-3ex=3e(ex-3-x)=
3
e2
g(x)≤0

綜上所述,m最大整數(shù)為4.
點(diǎn)評:本題主要考查利用奇偶性來求對稱區(qū)間上的解析式和應(yīng)用單調(diào)性來解決恒成立問題.這類問題綜合性較強(qiáng),涉及的知識和方法較多,思路比較繁雜,解題時(shí)必須嚴(yán)格按照邏輯步驟,層層解決.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044

定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)對任意x,yÎRf(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(0)¹0

1求證:f(0)=1;2求證:y=f(x)是偶涵數(shù);

3)若存在常數(shù)c使;①求證對任意xÎRf(x+c)=-f(x)成立;②試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù),如果是,找出它的一個(gè)周期;如果不是,請說明理由

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044

定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)對任意xyÎRf(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(0)¹0

1求證:f(0)=1;2求證:y=f(x)是偶涵數(shù);

3)若存在常數(shù)c使;①求證對任意xÎRf(x+c)=-f(x)成立;②試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù),如果是,找出它的一個(gè)周期;如果不是,請說明理由

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案