Question

從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．
（Ⅰ）求第七組的頻率；
（Ⅱ）估計(jì)該校的800名男生的身高的中位數(shù)以及身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)；
（Ⅲ）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件E={|x-y|≤5}，事件F={|x-y|＞15}，求P（E∪F）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由第六組的人數(shù)除以樣本容量得到第六組的頻率，然后用1減去出第七組外各組的頻率和即可得到第七組的頻率；
（Ⅱ）因?yàn)檫^(guò)中位數(shù)的直線兩側(cè)的矩形的面積相等，經(jīng)計(jì)算前三組的頻率和小于0.5，后四組的頻率和大于0.5，由此斷定中位數(shù)位于第四組，設(shè)出中位數(shù)m，由0.04+0.08+0.2+（m-170）×0.04=0.5即可求得中位數(shù)m的值；
（Ⅲ）分別求出第六組和第八組的人數(shù)，利用列舉法列出從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生的總的方法，再分別求出事件E和事件F的概率，最后利用互斥事件的概率加法公式進(jìn)行計(jì)算．
解答：解：（Ⅰ）第六組的頻率為，
所以第七組的頻率為1-0.08-5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06；
（Ⅱ）身高在第一組[155，160）的頻率為0.008×5=0.04，
身高在第二組[160，165）的頻率為0.016×5=0.08，
身高在第三組[165，170）的頻率為0.04×5=0.2，
身高在第四組[170，175）的頻率為0.04×5=0.2，
由于0.04+0.08+0.2=0.32＜0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52＞0.5
估計(jì)這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為m，則170＜m＜175
由0.04+0.08+0.2+（m-170）×0.04=0.5得m=174.5
所以可估計(jì)這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5
由直方圖得后三組頻率為0.06+0.08+0.008×5=0.18，
所以身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為0.18×800=144人． 
（Ⅲ）第六組[180，185）的人數(shù)為4人，設(shè)為a，b，c，d，第八組[190，195]的人數(shù)為2人，設(shè)為A，B，
則有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15種情況，
因事件E={|x-y|≤5}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，
所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況，故． 
由于|x-y|_max=195-180=15，所以事件F={|x-y|＞15}是不可能事件，P（F）=0
由于事件E和事件F是互斥事件，所以．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布直方圖，考查了列舉法求基本事件及事件發(fā)生的概率，解答此題的關(guān)鍵是明確頻率直方圖中各矩形的頻率和等于1，中位數(shù)是頻率分布直方圖中，過(guò)該點(diǎn)的直線把各矩形面積均分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，此題是基礎(chǔ)題．