【題目】已知橢圓C1 的離心率為 ,焦距為 ,拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點F是橢圓C1的頂點. (Ⅰ)求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)C1上不同于F的兩點P,Q滿足 ,且直線PQ與C2相切,求△FPQ的面積.

【答案】解:(Ⅰ)設(shè)橢圓C1的焦距為2c,依題意有 , , 解得 ,b=2,故橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為
又拋物線C2:x2=2py(p>0)開口向上,故F是橢圓C1的上頂點,
∴F(0,2),∴p=4,
故拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y.…(5分)
(Ⅱ)由題意得直線PQ的斜率存在.設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,
設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則 , ,
,
(*)
聯(lián)立 ,消去y整理得,(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣12=0(**).
依題意,x1 , x2是方程(**)的兩根,△=144k2﹣12m2+48>0,
, ,
將x1+x2和x1x2代入(*)得m2﹣m﹣2=0,
解得m=﹣1,(m=2不合題意,應(yīng)舍去).
聯(lián)立 ,消去y整理得,x2﹣8kx+8=0,
令△'=64k2﹣32=0,解得
經(jīng)檢驗, ,m=﹣1符合要求.
此時, ,

【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓C1的焦距為2c,依題意有 , ,由此能求出橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;又拋物線C2:x2=2py(p>0)開口向上,故F是橢圓C1的上頂點,由此能求出拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.(Ⅱ)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則 , ,聯(lián)立 ,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣12=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式,結(jié)合已知件能求出△FPQ的面積.

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④一定存在某個位置,使MB∥平面A1DE.
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