已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(1)a=(2)當a≤0時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+∞).當0<a<時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和,單調(diào)遞減區(qū)間是.當a=時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是
【解析】f′(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).
(1)由題意得f′(1)=f′(3),解得a=.
(2)f′(x)= (x>0).
①當a≤0時,x>0,ax-1<0.在區(qū)間(0,2)上,f′(x)>0;在區(qū)間(2,+∞)上,f′(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+∞).
②當0<a<時, >2.在區(qū)間(0,2)和上,f′(x)>0;在區(qū)間上,f′(x)<0.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和,單調(diào)遞減區(qū)間是.
③當a=時,f′(x)=≥0,
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).
④當a>時,0<<2,在區(qū)間和(2,+∞)上,f′(x)>0;在區(qū)間上,f′(x)<0.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是
科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(文)二輪復(fù)習專題提升訓練江蘇專用階段檢測1練習卷(解析版) 題型:填空題
對函數(shù)f(x)=xsin x,現(xiàn)有下列命題:①函數(shù)f(x)是偶函數(shù);②函數(shù)f(x)的最小正周期是2π;③點(π,0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心;④函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中是真命題的是________.(寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(文)二輪復(fù)習專題提升訓練江蘇專用7練習卷(解析版) 題型:填空題
在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin A,求b=______.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(文)二輪復(fù)習專題提升訓練江蘇專用5練習卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).
(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當m≤2時,證明f(x)>0.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(文)二輪復(fù)習專題提升訓練江蘇專用5練習卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)P是函數(shù)y= (x+1)圖象上異于原點的動點,且該圖象在點P處的切線的傾斜角為θ,則θ的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(文)二輪復(fù)習專題提升訓練江蘇專用4練習卷(解析版) 題型:填空題
已知a,b為正實數(shù),函數(shù)f(x)=ax3+bx+2x在[0,1]上的最大值為4,則f(x)在[-1,0]上的最小值為________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(文)二輪復(fù)習專題提升訓練江蘇專用3練習卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=.
(1)若f(x)>k的解集為{x|x<-3,或x>-2},求k的值;
(2)對任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(文)二輪復(fù)習專題提升訓練江蘇專用2練習卷(解析版) 題型:填空題
函數(shù)f(x)=x-sin x在區(qū)間[0,2π]上的零點個數(shù)為________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(文)二輪復(fù)習專題提升訓練江蘇專用1練習卷(解析版) 題型:填空題
已知f(x)=ln(1+x)的定義域為集合M,g(x)=2x+1的值域為集合N,則M∩N=________.
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