【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2)+ax.(a≤0)
(1)若f(x)在x=0處取得極值,求a的值;
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
(3)證明:(1+ )(1+ )…(1+ )< (n∈N* , e為自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】
(1)解:∵ ,∵x=0使f(x)的一個極值點,則f'(0)=0,
∴a=0,驗證知a=0符合條件
(2)解:∵
①若a=0時,∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(﹣∞,0)單調(diào)遞減;
②若 得,當a≤﹣1時,f'(x)≤0對x∈R恒成立,
∴f(x)在R上單調(diào)遞減.
③若﹣1<a<0時,由f'(x)>0得ax2+2x+a>0
∴
再令f'(x)<0,可得
∴ 上單調(diào)遞增,
在
綜上所述,若a≤﹣1時,f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞減;
若﹣1<a<0時, 上單調(diào)遞增 上單調(diào)遞減;
若a=0時,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(﹣∞,0)單調(diào)遞減
(3)解:由(2)知,當a=﹣1時,f(x)在(﹣∞,+∞)單調(diào)遞減
當x∈(0,+∞)時,由f(x)<f(0)=0
∴l(xiāng)n(1+x2)<x,∴l(xiāng)n[(1+ )(1+ )…(1+ )]=ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )
< + +…+ = = (1﹣ )< ,∴(1+ )(1+ )…(1+ )< =
【解析】(1)求出f′(x),因為f(x)在x=0時取得極值,所以f'(0)=0,代入求出a即可;(2)分三種情況:a=0;a≤﹣1;﹣1<a<0,令f′(x)>0得到函數(shù)的遞增區(qū)間;令f′(x)<0得到函數(shù)的遞減區(qū)間即可;(3)由(2)知當a=﹣1時函數(shù)為減函數(shù),所以得到ln(1+x2)<x,利用這個結(jié)論根據(jù)對數(shù)的運算法則化簡不等式的左邊得證即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率e=,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線過橢圓的左端點A,與橢圓的另一個交點為B.,AB的垂直平分線交軸于點,且·=4,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ax-lnx,a∈R.
(1)當a=1時,求曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(0,e]的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若f(﹣1)=﹣3,求a
(2)若f(x)的定義域為R,求a的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)a,使f(x)在(﹣∞,2)上為增函數(shù)?若存在,求出a的范圍?若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),在以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為 ,A,B兩點的極坐標分別為 .
(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程;
(2)點P是圓C上任一點,求△PAB面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知無窮數(shù)列{an},a1=1,a2=2,對任意n∈N* , 有an+2=an , 數(shù)列{bn}滿足bn+1﹣bn=an(n∈N*),若數(shù)列 中的任意一項都在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次,則滿足要求的b1的值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0且a≠1).
(1)求a,b的值;
(2)求f(log2x)的最小值及相應(yīng)x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點P在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面上運動,且P到直線BC與直線C1D1的距離相等,如果將正方體在平面內(nèi)展開,那么動點P的軌跡在展開圖中的形狀是( )
A.
B.
C.
D.
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