Question

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由；

（2）當時，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；

（3）是否存在實數(shù)，使得當的定義域為時，值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，理由見詳解；（2）單調(diào)遞減，過程見詳解；（3）存在.

【解析】

（1）先由函數(shù)解析式求出定義域，再由，求出，根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念，即可得出結(jié)果；

（2）先令，用單調(diào)性的定義，即可判斷的單調(diào)性，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定原則，即可得出結(jié)果；

（3）先假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)，由題意得出，，推出是方程的兩根，進而得到在上有兩個不同解，根據(jù)一元二次方程根的分布情況，列出不等式組，即可求出結(jié)果.

（1）由解得或，即函數(shù)的定義域為；

又，

所以，

因此，所以，

所以函數(shù)為奇函數(shù)；

（2）令，任取，

則，

因為，，，所以，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增；

又，所以單調(diào)遞減，

根據(jù)同增異減的原則，可得：在上單調(diào)遞減；

（3）假設(shè)存在實數(shù)，使得當的定義域為時，值域為，由，可得；

所以，

因此是方程的兩根，

即在上有兩個不同解，

設(shè)，則，解得.

所以存在，使得當的定義域為時，值域為.