【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=(n∈N*)
(Ⅰ)證明當n≥2時,數(shù)列{nan}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項an;
(Ⅱ)求數(shù)列{n2an}的前n項和Tn;
(Ⅲ)對任意n∈N*,使得 恒成立,求實數(shù)λ的最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)要證明數(shù)列{nan}是等比數(shù)列,應先求其通項公式,然后用等比數(shù)列定義證明即可。由等比數(shù)列通向公式可求得數(shù)列{nan}的通項公式,進而可求數(shù)列{an}的通項an;(Ⅱ)要求數(shù)列{n2an}的前n項和Tn,應根據(jù)(Ⅰ)的結果求其通項公式,由通項公式的特點可用錯位相減法求數(shù)列從第二項到第n項的和,再加第一項可得結果;(Ⅲ) 根據(jù)(Ⅰ)的結果,不等式可變?yōu)?/span>,利用基本不等式,可求得不等式右邊的最大值為?汕髮崝(shù)λ的最小值為。
(Ⅰ)[證明]:由a1+2a2+3a3+…+nan=,得a1+2a2+3a3+…+(n﹣1)an﹣1=(n≥2),
①﹣②:,即(n≥2),∴當n≥2時,數(shù)列{nan}是等比數(shù)列,
又a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=,得a2=1,則2a2=2,∴,
∴(n≥2),∴;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,
∴Tn=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2,則,
兩式作差得:,得:;
(Ⅲ)解:由≤(n+6)λ,得≤(n+6)λ,
即對任意n∈N*恒成立.
當n=2或n=3時n+有最小值為5,有最大值為,故有λ≥,∴實數(shù)λ的最小值為.
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【題目】 如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,為等邊三角形,平面平面,,,,
(Ⅰ)設分別為的中點,求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù)的圖象經過(-1,0)點,且在x=-1處的切線斜率為-1,設數(shù)列的前n項和Sn=f(n)(n∈N*).
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列{}前n項的和Tn.
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【題目】已知動圓的圓心為點,圓過點且與被直線截得弦長為.不過原點的直線與點的軌跡交于兩點,且.
(1)求點的軌跡方程;
(2)求三角形面積的最小值.
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【題目】已知z為虛數(shù),z+為實數(shù).
(1)若z-2為純虛數(shù),求虛數(shù)z.
(2)求|z-4|的取值范圍.
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【題目】如圖,某人在塔的正東方向上的處在與塔垂直的水平面內沿南偏西的方向以每小時千米的速度步行了分鐘以后,在點處望見塔的底端在東北方向上,已知沿途塔的仰角,的最大值為.
(1)求該人沿南偏西的方向走到仰角最大時,走了幾分鐘;
(2)求塔的高.
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【題目】已知函數(shù),圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為;_______________;
(Ⅰ)在①的一條對稱軸;②的一個對稱中心;③的圖象經過點這三個條件中任選一個補充在上面空白橫線中,然后確定函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)若動直線與和的圖象分別交于、兩點,求線段長度的最大值及此時的值.
注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.
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