已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx滿足條件：①f（0）=f（1）；②f（x）的最小值為-
1
8
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，且Tn=(
4
5
)f(n)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)的和．
分析：（1）根據(jù)條件①f（0）=f（1）與②f（x）的最小值為-
1
8
，建立a、b的兩個(gè)等量關(guān)系，解之即可得．
（2）前n項(xiàng)積為Tn，則前n-1項(xiàng)積為Tn-1，所以an=
Tn
Tn-1
，驗(yàn)證首項(xiàng)即可．
（3）數(shù)列{nan}的通項(xiàng)是由等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，這一類一般利用錯(cuò)位相消的方法進(jìn)行求和．
解答：解：（1）由題知：
a+b=0
a＞0
-
b2
4a
=-
1
8
，解得
a=
1
2
b=-
1
2
，
故f(x)=
1
2
x2-
1
2
x（4分）
（2）Tn=a1a2an=(
4
5
)
n2-n
2
，（5分）
Tn-1=a1a2an-1=(
4
5
)
(n-1)2-(n-1)
2
(n≥2)（7分）
∴an=
Tn
Tn-1
=(
4
5
)n-1(n≥2)，（9分）
又a1=T1=1滿足上式．所以an=(
4
5
)n-1(n∈N*)（10分）
（3）解：Tn=(
4
5
)0+2(
4
5
)1+3(
4
5
)2++n(
4
5
)n-1，
4
5
Tn=
4
5
+2(
4
5
)2++(n-1)(
4
5
)n-1+n(
4
5
)n（11分）
1
5
Tn=1+
4
5
+(
4
5
)2++(
4
5
)n-1-n(
4
5
)n，（13分）
1
5
Tn=
1-(
4
5
)n
1-
4
5
-n(
4
5
)n，Tn=25-(25+n)(
4
5
)n，（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的解析式的求解，以及數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的求和問題，屬于中檔題，同時(shí)也考查了學(xué)生的計(jì)算能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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