【題目】已知橢圓C1 +x2=1(a>1)與拋物線C :x2=4y有相同焦點(diǎn)F1
(Ⅰ)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知直線l1過橢圓C1的另一焦點(diǎn)F2 , 且與拋物線C2相切于第一象限的點(diǎn)A,設(shè)平行l(wèi)1的直線l交橢圓C1于B,C兩點(diǎn),當(dāng)△OBC面積最大時(shí),求直線l的方程.

【答案】解:(Ⅰ)∵拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F1(0,1), ∴c=1,又b2=1,∴
∴橢圓方程為: +x2=1.
(Ⅱ)F2(0,﹣1),由已知可知直線l1的斜率必存在,

設(shè)直線l1:y=kx﹣1
消去y并化簡得x2﹣4kx+4=0
∵直線l1與拋物線C2相切于點(diǎn)A.
∴△=(﹣4k)2﹣4×4=0,得k=±1.
∵切點(diǎn)A在第一象限.
∴k=1
∵l∥l1
∴設(shè)直線l的方程為y=x+m
,消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0,
△=(2m)2﹣12(m2﹣2)>0,
解得
設(shè)B(x1 , y1),C(x2 , y2),則
又直線l交y軸于D(0,m)

=
當(dāng) ,即 時(shí),
所以,所求直線l的方程為
【解析】(Ⅰ)求出拋物線的F1(0,1),利用橢圓的離心率,求出a、b即可求解橢圓方程.(Ⅱ)F2(0,﹣1),由已知可知直線l1的斜率必存在,聯(lián)立方程組,利用相切求出k,然后利用直線的平行,設(shè)直線l的方程為y=x+m聯(lián)立方程組,通過弦長公式點(diǎn)到直線的距離求解三角形的面積,然后得到所求直線l的方程.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.

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