已知F1(-1,0)、F2(1,0)為橢圓的焦點(diǎn),且直線(xiàn)x+y-
7
=0
與橢圓相切.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn),求△ABF2的面積S的最大值,并求此時(shí)直線(xiàn)的方程.
分析:(Ⅰ)依題意可設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
a2-1
=1
,由直線(xiàn)與橢圓相切知,直線(xiàn)方程與橢圓方程構(gòu)成的方程組只有一解,消y后由△=0即可解得a2值,注意a的范圍;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)F1的直線(xiàn):x=my-1,代入
x2
4
+
y2
3
=1
消去x并整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,S△ABF2=
1
2
×2c
|y1-y2|=|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
,由韋達(dá)定理即可用m表示出S△ABF2,換元后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得面積的最大值及此時(shí)m值;
解答:解:(Ⅰ)依題意可設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
a2-1
=1

x+y-
7
=0
y=
7
-x
,代入
x2
a2
+
y2
a2-1
=1
消去y并整理得,((2a2-1)x2-2
7
a2x+8a2-a4=0
,
由△=28a4-4(2a2-1)(8a2-a4)=8a2(a4-5a2+4)=0,解得a2=1或a2=4,
因?yàn)閍2>1,所以a2=4,
所以橢圓方程為:
x2
4
+
y2
3
=1.
(Ⅱ)設(shè)過(guò)F1的直線(xiàn):x=my-1,代入
x2
4
+
y2
3
=1
消去x并整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=
6m
3m2+4
,y1y2=
-9
3m2+4
,
所以|y1-y2|=
36m2+36(3m2+4)
3m2+4
=
12
m2+1
3m2+4
,
S△ABF2=
1
2
×2c
|y1-y2|=|y1-y2|=
12
m2+1
3m2+4
=
12
3
m2+1
+
1
m2+1
,
令t=
m2+1
,則t≥1,S△ABF2=
12
3t+
1
t
,
(3t+
1
t
)′=3-
1
t2
>0
,所以3t+
1
t
遞增,(3t+
1
t
)min
=3×1+1=4,當(dāng)t=1即m=0時(shí)取等號(hào),
所以S△ABF2
12
4
=3,
當(dāng)m=0時(shí),面積S最大為3,此時(shí)直線(xiàn)方程為x=-1.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系及橢圓方程的求解,考查函數(shù)思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用,屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),A(
1
2
,0),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足3
PF1
PA
+
PF2
PA
=0.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)是否存在點(diǎn)P,使PA成為∠F1PF2的平分線(xiàn)?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),點(diǎn)p滿(mǎn)足|
PF
1
|+|
PF
2
|=2
2
,記點(diǎn)P的軌跡為E.
(Ⅰ)求軌跡E的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F2(1,0)作直線(xiàn)l與軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè)
F2A
F2B
,T(2,0),,若λ∈[-2,-1],求|
TA
+
TB
|
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
的兩個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上一點(diǎn)P滿(mǎn)足|
PF1
|+|
PF2
|=4
,則橢圓的離心率e=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)G與F2關(guān)于直線(xiàn)l:x-2y+4=0對(duì)稱(chēng),且GF1與l的交點(diǎn)P在橢圓上.
(I)求橢圓方程;
(II)若P、M(x1,y1),N(x2,y2)是橢圓上的不同三點(diǎn),直線(xiàn)PM、PN的傾斜角互補(bǔ),問(wèn)直線(xiàn)MN的斜率是否是定值?如果是,求出該定值,如果不是,說(shuō)明理由.

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