（2012•江蘇二模）在平面直角坐標系xOy中，已知點P在曲線xy=1（x＞0）上，點P在x軸上的射影為M．若點P在直線x-y=0的下方，當
OP2
OM-MP
取得最小值時，點P的坐標為
（
6
-
2
2
，
6
+
2
2
）
（
6
-
2
2
，
6
+
2
2
）
．
分析：設(shè)點P（t，
1
t
），將
OP2
OM-MP
化成關(guān)于t的表達式，結(jié)合題意得t-
1
t
是正數(shù)，利用基本不等式可求出
OP2
OM-MP
的最小值為2
2
，根據(jù)等號成立的條件求出t的值，從而得到此時點P的坐標．
解答：解：設(shè)點P（t，
1
t
），得OP2=t2+
1
t2
，而OM=t，MP=
1
t

∴
OP2
OM-MP
=
t2+
1
t2
t-
1
t
=
(t -
1
t 
)2+2
t-
1
t
=（t-
1
t
）+
2
t-
1
t

∵點P在直線x-y=0的下方，且t＞0
∴t＞1，得t-
1
t
是正數(shù)，所以（t-
1
t
）+
2
t-
1
t
≥2
2

當且僅當t-
1
t
=
2
t-
1
t
=
2
時，不等式的等號成立，解之得t=
6
-
2
2
，
1
t
=
6
+
2
2

∴點P的坐標為（
6
-
2
2
，
6
+
2
2
）
故答案為：（
6
-
2
2
，
6
+
2
2
）
點評：本題通過曲線上一個動點，求關(guān)于線段OP、OM、MP的分式的最小值，著重考查了曲線與方程、利用基本不等式求最值和簡單的演繹推理等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列命題：
（1）若α∥β，m?β，n?α，則m∥n；
（2）若α∥β，m⊥β，n∥α，則m⊥n；
（3）若α⊥β，m⊥α，n∥β，則m∥n；
（4）若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n．
上面命題中，所有真命題的序號為
（2），（4）
（2），（4）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知A、B是函數(shù)y=3sin（2x+θ）的圖象與x軸兩相鄰交點，C是圖象上A，B之間的最低點，則
AB
•
AC
=
π2
8
π2
8
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，在C城周邊已有兩條公路l1，l2在點O處交匯，現(xiàn)規(guī)劃在公路l1，l2上分別選擇A，B兩處為交匯點（異于點O）直接修建一條公路通過C城，已知OC=(
2
+
6
)km，∠AOB=75°，∠AOC=45°，設(shè)OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出它的定義域；
（2）試確定點A、B的位置，使△OAB的面積最小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）設(shè)實數(shù)n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0對任意x∈[-4，2]都成立，則
m4-n4
m3n
的最小值為
-
80
3
-
80
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）已知雙曲線
x2
m
-
y2
3
=1(m＞0)的一條漸近線方程為y=
3
2
x，則m的值為
4
4
．

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