【題目】已知函數(shù)y=f(x),若在定義域內(nèi)存在x0 , 使得f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,則稱x0為函數(shù)y=f(x)的局部對稱點.
(1)若a、b∈R且a≠0,證明:函數(shù)f(x)=ax2+bx﹣a必有局部對稱點;
(2)若函數(shù)f(x)=2x+c在定義域[﹣1,2]內(nèi)有局部對稱點,求實數(shù)c的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對稱點,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)證明:由f(x)=ax2+bx﹣a得f(﹣x)=ax2﹣bx﹣a

代入f(﹣x)+f(x)=0得,(ax2+bx﹣a)+(ax2﹣bx﹣a)=0,

得到關于x的方程ax2﹣a=0(a≠0),

其中△=4a2,由于a∈R且a≠0,所以△>0恒成立

所以函數(shù)f(x)=ax2+bx﹣a(a≠0)必有局部對稱點


(2)證明:方程2x+2x+2c=0在區(qū)間[﹣1,2]上有解,于是﹣2c=2x+2x

設t=2x(﹣1≤x≤2), , 其中

所以


(3)證明:f(﹣x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3,

由于f(﹣x)+f(x)=0,所以4x﹣m2x+1+m2﹣3=﹣(4x﹣m2x+1+m2﹣3)

于是(4x+4x)﹣2m(2x+2x)+2(m2﹣3)=0(*)在R上有解

令2x+2x=t(t≥2),則4x+4x=t2﹣2,

所以方程(*)變?yōu)閠2﹣2mt+2m2﹣8=0在區(qū)間[2,+∞)內(nèi)有解,需滿足條件:

,

化簡得


【解析】(1)根據(jù)局部對稱點的定義,結合已知中二次函數(shù)的圖象和性質,可證明得結論;(2)若函數(shù)f(x)=2x+c在定義域[﹣1,2]內(nèi)有局部對稱點,則方程2x+2x+2c=0在區(qū)間[﹣1,2]上有解,解得實數(shù)c的取值范圍;(3)若函數(shù)f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對稱點,則方程(4x+4x)﹣2m(2x+2x)+2(m2﹣3)=0(*)在R上有解,解得實數(shù)m的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質的相關知識點,需要掌握當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能正確解答此題.

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