【題目】已知數(shù)列{an}中,a2=2,前n項(xiàng)和為 . (I)證明數(shù)列{an+1﹣an}是等差數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè) ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 求使不等式 對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值.

【答案】解:(I)由題意,當(dāng) . a2=2,則a2﹣a1=1.
當(dāng) , ,
,
則(n﹣1)an+1﹣2(n﹣1)an+(n﹣1)an1=0,
即an+1﹣2an+an1=0,
即an+1﹣an=an﹣an1
則數(shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為1,公差為0的等差數(shù)列.
從而an﹣an1=1,則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.
所以,an=n(n∈N*
(II)
所以,
=
由于
因此Tn單調(diào)遞增,
故Tn的最小值為
,
所以k的最大值為18
【解析】(I)由題意,當(dāng) .a(chǎn)2=2,則a2﹣a1=1.當(dāng) ,由此入手能夠?qū)С鰯?shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為1,公差為0的等差數(shù)列,從而能夠求出an . (II) ,所以, = .由此能夠求出使不等式 對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(及其變式)和等差關(guān)系的確定,需要了解通項(xiàng)公式:;如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù),即=d ,(n≥2,n∈N)那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列才能得出正確答案.

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