（2013•深圳一模）設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3=7，且3a2是a1+3和a3+4和的等差中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=
an
(an+1)(an+1+1)
，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜
1
2
．
分析：（1）利用條件建立方程組，求出首項與公比，即可求得數(shù)列{an}的通項公式；
（2）利用裂項法求數(shù)列的和，即可證得結論．
解答：（1）解：由已知，得
a1+a2+a3=7
(a1+3)+(a3+4)
2
=3a2.
…（3分）
解得a2=2．
設數(shù)列{an}的公比為q，則a1q=2，
∴a1=
2
q
，a3=a1q2=2q．
由S3=7，可知
2
q
+2+2q=7，
∴2q2-5q+2=0，解得q1=2，q2=
1
2
．
由題意，得q＞1，∴q=2．       …（5分）
∴a1=1．
故數(shù)列{an}的通項為an=2n-1．   …（7分）
（2）證明：∵bn=
an
(an+1)(an+1+1)
=
2n-1
(2n-1+1)(2n+1)
=
1
2n-1+1
-
1
2n+1
，…（11分）
∴Sn=(
1
1+1
-
1
21+1
)+(
1
21+1
-
1
22+1
)+(
1
22+1
-
1
23+1
)+…+(
1
2n-1+1
-
1
2n+1
)=
1
1+1
-
1
2n+1
=
1
2
-
1
2n+1
＜
1
2
．…（14分）
點評：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及其性質，考查了數(shù)列求和的“裂項相消法”；考查了學生的運算能力和思維能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•深圳一模）已知函數(shù)f（x）=ax+x2-xlna-b（a，b∈R，a＞1），e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性；
（2）當a=e，b=4時，求整數(shù)k的值，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+1）上存在零點；
（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•深圳一模）（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C1的參數(shù)方程為
x=
t
y=t+1.
（t為參數(shù)），曲線C2的極坐標方程為ρsinθ-ρcosθ=3，則C1與C2交點在直角坐標系中的坐標為
（2，5）
（2，5）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•深圳一模）設f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=log3（1+x），則f（-2）=（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=2sin(
πx
6
+
π
3
)(0≤x≤5)，點A、B分別是函數(shù)y=f（x）圖象上的最高點和最低點．
（1）求點A、B的坐標以及
OA
•
OB
的值；
（2）設點A、B分別在角α、β的終邊上，求tan（α-2β）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•深圳一模）已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=a（a≠0），an+2=p•
an+12
an
（其中p為非零常數(shù)，n∈N*）．
（1）判斷數(shù)列{
an+1
an
}是不是等比數(shù)列？
（2）求an；
（3）當a=1時，令bn=
nan+2
an
，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，求Sn．

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