已知直線l：
x=-1-3t
y=2+4t
與雙曲線（y-2）2-x2=1相交于A、B兩點，P點坐標P（-1，2）．求：
（1）|PA|•|PB|的值；  
（2）弦長|AB|； 
（3）弦AB中點M與點P的距離．
分析：（1）將直線l的 參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，與雙曲線方程（y-2）2-x2=1聯(lián)立，設(shè)出A、B兩點的坐標，利用韋達定理可求|PA|•|PB|的值；
（2）知A、B兩點的坐標，利用兩點間的距離公式可求弦長|AB|； 
（3）由（1）知A、B兩點的坐標，P點坐標P（-1，2），從而可求弦AB中點M與點P的距離．
解答：解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為：
x=-1-3t
y=2+4t
，消去t轉(zhuǎn)化為普通方程為：
x+1
-3
=
y-2
4
，
整理得4x+3y-2=0，
由
(y-2)2-x2=1
4x+3y-2=0
，
消去y得：7x2+32x+7=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由韋達定理得：x1+x2=-
32
7
，x1x2=1；
∵P（-1，2），
∴|PA|2=(x1+1)2+(y1-2)2=(x1+1)2+(
-4-4x1
3
)2=(x1+1)2+
16x12+32x1+16
9
=
25x12+50x1+25
9
，
∴|PA|=
5
3
|x1+1|，
同理可得|PB|=
5
3
|x2+1|，
∴|PA|•|PB|=
25
9
|x1x2+（x1+x2）+1|
=
25
9
|1-
32
7
+1|
=
25
9
×
18
7

=
50
7
．
（2）∵|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
=(x2-x1)2[1+(
y2-y1
x2-x1
)2]
=（1+
16
9
）[(x2+x1)2-4x1x2]
=
25
9
（
1024
49
-4）
=
25
9
×
46
7
×
18
7

=
2300
49
，
∴|AB|=
10
7
23
．
（3）∵弦AB中點M（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
），
而
x1+x2
2
=-
16
7
，y1=
2-4x1
3
，y2=
2-4x2
3
，
∴
y1+y2
2
=
2-2(x2+x1)
3
=
2-2×(-
32
7
)
3
=
26
7
，
∴M（-
16
7
，
26
7
），
∴|MP|=
(
16
7
-1)2+(
26
7
-2)2
=
15
7
．
點評：本題考查直線的參數(shù)方程，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，突出考查韋達定理與弦長公式的應(yīng)用，考查分析、轉(zhuǎn)化與運算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)）與曲線C的極坐標方程：ρ=
2
cos(θ+
π
4
)．
（1）求直線l與曲線C的直角坐標方程（極點與坐標原點重合，極軸與x軸重合）
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：
x=1+t
y=-t
（t為參數(shù)）與圓C：
x=2cosθ
y=m+2sinθ
（θ為參數(shù)）相交于A，B兩點，m為常數(shù)．
（1）當m=0時，求線段AB的長；
（2）當圓C上恰有三點到直線的距離為1時，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•洛陽模擬）已知直線l：
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
（t為參數(shù)），曲線C1：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）設(shè)l與C1相交于A，B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的
1
2
倍，縱坐標壓縮為原來的
3
2
倍，得到曲線C2，設(shè)點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南京二模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：
x=1-
5
5
t
y=-1+
2
5
5
t
 
（t為參數(shù)）和曲線C：
x=1+t
y=1+t2
（t為參數(shù)）．若P是曲線C上任意一點，求點P到直線l的距離的最小值及此時點P的坐標．

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