Question

（2012•洛陽模擬）已知直線l：

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

（t為參數(shù)），曲線C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）設(shè)l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C₁上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的

1

2

倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的

3

2

倍，得到曲線C₂，設(shè)點(diǎn)P是曲線C₂上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析：（I）將直線l中的x與y代入到直線C₁中，即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出|AB|．
（II）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C₂任意點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值即可．

解答：解：（I）l的普通方程為y=

3

（x-1），C₁的普通方程為x²+y²=1，
聯(lián)立方程組

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），B（

1

2

，-

3

2

）
所以|AB|=

(1- 1 2 )2+(0+ 3 2 )2

=1；

（II）曲線C₂：

x= 1 2 cosθ y= 3 2 sinθ

（θ為參數(shù)）．
設(shè)所求的點(diǎn)為P（

1

2

cosθ，

3

2

sinθ），
則P到直線l的距離d=

| 3 2 cosθ- 3 2 sinθ- 3 |

3+1

=

3

4

[

2

sin（θ-

π

4

）+2]
當(dāng)sin（θ-

π

4

）=-1時(shí)，d取得最小值

6

4

(

2

-1)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)曲線C₂的參數(shù)方程設(shè)出所求P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出d，進(jìn)而利用三角函數(shù)來解決問題是解本題的思路．