Question

設(shè)F₁、F₂為橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過橢圓中心任作一條直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF₁QF₂的面積最大時(shí)，

PF1

•

PF2

的值等于

 

．

Answer 1

分析：F₁、F₂為橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過橢圓中心任作一條直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF₁QF₂的面積最大時(shí)，可判斷出此時(shí)點(diǎn)P，Q恰好是橢圓的短軸的端點(diǎn)，此時(shí)PF₁=PF₂=a，可求得∠F₁PF₂=90°，由此可求出

PF1

•

PF2

的值

解答：解：由題意當(dāng)四邊形PF₁QF₂的面積最大時(shí)，點(diǎn)P，Q恰好是橢圓的短軸的端點(diǎn)此時(shí)PF₁=PF₂=2，
又橢圓

x2

4

+

y2

2

=1
故有a=2，b=

2

，代入a²=b²+c²，解得c=

2

即b=c，由此得∠F₁PF₂=90°，
即

PF1

⊥

PF2

所以

PF1

•

PF2

的值等于0
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件得出a，b，c三個(gè)量之間的關(guān)系，由此關(guān)系判斷出橢圓的四邊形PF₁QF₂的面積最大時(shí)，兩向量的夾角，再由向量的數(shù)量積公式求出數(shù)量積．