Question

雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線為C的一條漸近線.

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）過點(diǎn)P（0，4）的直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線方程為  

由橢圓，求得兩焦點(diǎn)為（－2，0），（2，0）

∴對于雙曲線C：c=2，又為雙曲線C的一條漸近線，

∴  解得   ∴雙曲線C的方程為  

（2）解法一：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零，

設(shè)l的方程：

則

∵

∴

∴

∵A(x₁, y₁)在雙曲線C上， ∴

∴

∴

同理有：

若16－k²=0，則直線l過頂點(diǎn)，不合題意。

∴16－k²≠0， ∴是二次方程 的兩根

∴  ∴k²=4，此時(shí)△>0， ∴k=±2

∴所求Q的坐標(biāo)為（±2，0）

解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零。

設(shè)l的方程：

∵  ∴Q分的比為。由定比分點(diǎn)坐標(biāo)式得：

  下同解法一

解法三：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零。

設(shè)l的方程：

∵  ∴

∴

∴  即

將

∵，否則l與漸近線平行 

∴

∴  ∴

解法四：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零，

設(shè)l的方程：

∵  ∴

∴

同理 

即

又由     消去y，得

當(dāng)3－k²=0時(shí)，則直線l與雙曲線的漸近線平行，不合題意，

由韋達(dá)定理有：

代入（*）式得k²=4，k=±2

∴所求Q的點(diǎn)的坐標(biāo)為（±2，0）